Тема 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

9.1. Понятие случайной величины
9.2. Некоторые законы распределения
9.3. Контрольные вопросы

9.1. Понятие случайной величины

Если результатом испытания является случайное событие, принимающее числовое значение, то говорят о случайной величине.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной. Примеры: число очков, выпавших при бросании игральной кости; число родившихся детей в семье; число шаров, которые можно достать из урны и т. д.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Примеры: прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого промежутка; прогнозируемая температура воздуха по области и т. д.

Закон распределения случайной величины

где x₁, x₂, …, x_n - случайные величины, соответствующие полной группе событий, т. е. p₁ + p₂ + … + p_n = 1.
При возрастании количества исходов полной группы событий закон распределения становится менее наглядным, и оценить наиболее вероятный исход становится достаточно трудно. Поэтому вводят характеристики случайных величин: математическое ожидание - ожидаемая величина в данном опыте, дисперсия - разброс значений.

Характеристики случайной величины

Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М(Х) = x₁· p₁ + x₂· p₂ + … + x_n· p_n .

Дисперсией D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

D(X) = M [(X - M(X))²] или D(X) = M (X²) - M²(X).

Средним квадратическим отклонением s(Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x).

Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности) называется функция f(x), равная производной интегральной функции:

f(x) = F '(x).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое ожидание которой М (Х) = а и функция f (x) является плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Для непрерывной случайной величины Х среднее квадратическое отклонение s(Х) определяется как и для дискретной величины.

9.2. Некоторые законы распределения

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 - р.

Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз (m Ј n). Пусть событие А наступило в первых n испытаниях m раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно написать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. Так как эти сложные события несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей. При этом вероятность каждого сложного события равна pm Ч qn-m. Вероятность появления события А m раз в n испытаниях равна:

(формула Бернулли).

Закон биномиального распределения

Нормальное распределение

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f (x) определяется формулой:

где а совпадает с математическим ожиданием величины Х: а = М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s = s (Х).

График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; ). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая "сжимается" к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая "растягивается" в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра а (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох.

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1 называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения будет:

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b):

Вопросы

1. Приведите примеры испытаний, результатом которых становятся дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины.

2. Что отражают характеристики случайных величин - математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение? Покажите на графике.

3. Обоснуйте справедливость равенства p₁ + p₂ + … + p_n = 1, используемого в законе распределения случайных величин.

4. Приведите примеры испытаний, где для расчета вероятности могла бы использоваться формула Бернулли.

5. Почему в формуле Бернулли используется число сочетаний, а не, допустим, размещений?

6. Что означает фраза "значения распределены по нормальному закону"?

Ключевые слова

случайная величина, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, распределение случайной величины, биномиальное распределение, нормальное распределение, формула Бернулли.