УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

Информатика

1. Знакомство с клавиатурой
2. Операционная система WINDOWS'9x
3. Текстовой редактор MICROSOFT WORD
4. СУБД MS ACCESS
5. Электронная таблица MICROSOFT EXCEL

Математика

6. Факториал
7. Множества
8. Комбинаторика
9. Теория вероятности
10. Случайные величины
11. Элементы математической статистики

________________________________________________________________________________

И Н Ф О Р М А Т И К А

1. Знакомство с клавиатурой

Клавиатура предназначена для ввода в компьютер информации от пользователя. Расположение букв на клавиатуре компьютера стандартное и соответствует их расположению на пишущей машинке.

Если для выполнения какого-либо действия необходимо нажать нескольких клавиш одновременно (удерживая нажатой одну кнопку, коротко нажимаете вторую), то обозначается это знаком "+" (например, Ctrl + F1).

Обычно выделяют пять групп клавиш, рассмотрим их подробнее.

КОМАНДНЫЕ (УПРАВЛЯЮЩИЕ) КЛАВИШИ

Enter - клавиша ввода; закрепляет выбор или запускает команду на выполнение.

Esc ("escape" - убегать, спасаться) - отмена какого-либо действия, выход из программы, прерывание режима работы.

Num Lock - подключение цифровых клавиш на правой клавиатуре.

Shift +... - набор заглавных букв и символов верхнего регистра.

Caps Lock - фиксация режима печати заглавных букв.

Insert (Ins) - режим вставки/замены.

Tab - перенос бара (курсора) по таблице.

Pause - приостановка работы программы.

КЛАВИШИ РЕДАКТИРОВАНИЯ

Back Space (з) - удаление символов слева от курсора.

Delete (Del) - удаление символов справа от курсора.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАВИШИ

(F1- F12)

КЛАВИШИ УПРАВЛЕНИЯ КУРСОРОМ

Стрелки (збав) - перемещение курсора влево, вверх, вправо, вниз.

Page Up - постраничное листание назад.

Page Down - постраничное листание вперед.

Home - перенос курсора в начало (строки, текста, списка и т. п.).

End - перенос курсора в конец (строки, текста, списка и т. п.).

АЛФАВИТНО-ЦИФРОВЫЕ КЛАВИШИ

Символы черного цвета используются для латинского алфавита, красного цвета - для русского. Переключение алфавитов осуществляется левыми/правыми Shift + Ctrl или Sfift + Alt.

2. Операционная система WINDOWS'9x

ЭКРАН

Сразу после запуска Windows на экране появляется несколько объектов, которые позволяют запускать приложения, управлять файлами, а также выполнять множество других задач. Экран включает в себя следующие компоненты:

Рабочий стол. Это фон, на котором отображены все остальные элементы. Можно представить его как поверхность рабочего стола в офисе. Подобно тому, как мы перекладываем с места на место бумаги и папки, что-то прячем в ящики, можно манипулировать и объектами на рабочем столе Windows.

Пиктограммы. Это маленькие картинки, представляющие программы, папки (это другое название директорий или каталогов), файлы, информацию принтера или компьютера и т. д. Чтобы увидеть, какое содержимое скрывается за пиктограммой, надо дважды щелкнуть на ней мышью.

Например:

• пиктограмма "Мой компьютер" представляет содержимое вашего компьютера, включая винчестер, гибкие диски, CD-ROM, приложения, папки, файлы;
  
• пиктограмма "Корзина" указывает на место, в котором удаленные объекты сохраняются до того времени, пока вы не "выбросите" из нее "мусор". Удаленные папки или файлы можно восстановить, "достав" их из корзины, при условии, что вы ее еще не "очистили от мусора".
  

Панель задач содержит экранную кнопку ПУСК, кнопки всех открытых приложений или окон и индикатор текущего времени. Чтобы открыть окно или приложение, можно щелкнуть на соответствующей кнопке панели задач.

Указатель мыши - значок, перемещающийся на экране при движении мыши по рабочей поверхности.

МЫШЬ

Если нет дополнительных указаний, то используется левая кнопка мыши.

Функции кнопок мыши:

• левая кнопка (ЛК): выделение объекта, группы объектов, фрагмента документа, перенос объекта, группы объектов, фрагмента документа;
  
• правая кнопка (ПК): вызов контекстного меню, специальное перетаскивание.
  

С мышью возможны следующие действия:

• щелкнуть мышью: установить указатель мыши на некоторый объект, нажать кнопку, отпустить ее;
  
• дважды щелкнуть мышью: установить указатель мыши на некоторый объект, дважды быстро нажать кнопку;
  
• перетащить мышью: установить указатель мыши на некоторый объект, нажать кнопку, удерживая ее, переместить объект на новую позицию, отпустить.
  

ОКНА

Интерфейс Windows'95 построен в виде последовательно раскрывающихся окон, содержащих различные объекты.

Иногда, для того чтобы увидеть содержимое окна полностью, следует увеличить его размеры, а чтобы освободить место на экране для других окон - уменьшить его до размеров кнопки на панели задач. Работая с мышью, можно воспользоваться кнопками максимизации, минимизации и восстановления, расположенными в правом верхнем углу окна:

1 - увеличить размеры окна до размеров экрана (развернуть),
2 - вернуть окну размеры, которые оно имело до максимизации (восстановить),
0- свернуть окно до размеров кнопки на панели задач,
r - закрыть окно.

Если пользователю требуется окно определенных размеров, можно изменить его границы следующим образом:

• нужно поместить указатель мыши на ту границу, расположение которой хотите поменять;
  
• если указатель мыши занял правильное положение, то он превратится в двунаправленную стрелку. Например, для изменения высоты надо использовать вертикальную стрелку (ф). Для изменения ширины - горизонтальную, ширины и высоты одновременно - диагональную двунаправленную стрелку;
  
• перемещая мышь, мы можем передвинуть рамку на новое место.

ПАПКИ

С папками (директориями, каталогами) можно работать различными способами. Например, с помощью программы "Проводник", которая служит для упорядочения, переименования, перемещения, удаления и выполнения других операций с папками и файлами. Запуск "Проводника" производится следующим образом:

ПУСК Ю Программы Ю Проводник.

На левой панели программы "Проводник" "свернутые" папки (содержимое которых не отображено) отмечены знаком "+", "развернутые" - знаком "-". Чтобы развернуть папку и просмотреть ее содержимое, надо щелкнуть на "+" перед нужной папкой.

Создание папки:

• два раза щелкнуть на пиктограмме Мой компьютер;
  
• выбрать рабочий диск (C или D - уточните у преподавателя), щелкнуть на нем два раза;
  
• щелкнуть два раза на папке Work;
  
• щелкнуть два раза на папке вашего факультета;
  
• в меню выбрать: Файл Ю Создать Ю Папка;
  
• ввести имя новой папки (свою фамилию), нажать Enter.
  

Задания

3. Текстовой редактор MICROSOFT WORD

Данный редактор работает в режиме WYSIWYG (сокращение от английской фразы "что Вы видите, то и получите", т. е. что на экране, то и на печати), он может выводить на экран страницу точно в том виде, в котором она будет печататься. Кроме того, он содержит множество средств автоматизации делопроизводства: рассылку стандартных писем, заполнение бланков по шаблонам и т. д.

ЗАПУСК

Запуск MS Word производится в следующем порядке:

ПУСК Ю Программы Ю Текстовый редактор MS Word.

Задания

Темы текстов

1. Описание любой зарубежной страны на двух языках (культура, обычаи, государственное устройство и т. д.). (ФИЯ)
2. Историческое событие. (ИФ)
3. Становление государства (на примере любого государства). (ИФ)
4. Анализ литературного произведения. (ФРФ)
5. Синтаксический разбор предложения. Фонетический разбор слова (ФРФ)
6. Спортивная игра: правила, инвентарь, описание (ФФК)
7. Макет почетной грамоты (ФФК)
8. "Памятка для родителей": воспитание детей дошкольного и младшего школьного возраста. (ПиПРР)
9. Русские пословицы и поговорки с пояснениями и иллюстрациями (ПиПРР)

4. СУБД MS ACCESS

ЗАПУСК

Запуск Microsoft Access производится в следующем порядке:

ПУСК Ю Программы Ю Microsoft Access.

После загрузки системы на экране появляется форма выбора:

Новая база данных позволяет создать пустую базу данных, а затем добавить в нее таблицы, формы, отчеты и другие объекты;

• Запуск мастера позволяет создать сразу с помощью мастера базу данных определенного типа со всеми необходимыми таблицами, формами и отчетами;
  
• Открыть базу данных позволяет открыть существующую базу из списка.
  
• Выбрав, нажмите кнопку ОК.
  

База данных Access представляет собой несколько таблиц, между которыми некоторым образом распределены данные. Для хранения базы данных Access используется один файл, который содержит все объекты базы данных. Объекты - это компоненты, которые используются для хранения и представления данных. Рассмотрим их:

таблица - это объект, который используется для хранения данных. Каждая таблица включает в себя информацию об объекте определенного типа. Таблица содержит поля (столбцы), в которых хранятся различного рода данные, и записи (строки);

• запрос - это объект, который позволяет пользователю получить нужные данные из одной или нескольких таблиц. С помощью запросов можно также создавать новые таблицы, используя данные одной или нескольких таблиц, которые уже существуют;
  
• форма - это объект, предназначенный в основном для ввода данных, отображения их на экране или управления работой приложения;
  
• отчет - объект, предназначенный для создания документа, который впоследствии может быть распечатан или включен в документ другого приложения;
  
• макрос - объект, представляющий собой структурированное описание одного или нескольких действий, которые должен выполнить Access в ответ на определенное событие;
  
• модуль - объект, содержащий программы на Microsoft Access Basic, которые позволяют разбить процесс на более мелкие действия и обнаружить те ошибки, которые нельзя было бы найти с использованием макросов.
  

ЗАДАНИЕ СТРУКТУРЫ ТАБЛИЦЫ

Чтобы создать новую таблицу необходимо нажать кнопку Создать. На экране появится диалоговое окно, в котором необходимо выбрать способ создания таблицы:

• режим таблицы позволяет создать пустую таблицу, состоящую из 20 столбцов и 30 строк. По умолчанию задаются следующие имена столбцов: "Поле 1", "Поле 2" и т. д. Для переименования каждого столбца можно дважды щелкнуть на название столбца, ввести имя и нажать клавишу Enter. Если таблица должна содержать более 20 столбцов, то можно добавить дополнительные. Для этого надо нажать кнопку мыши справа от столбца, рядом с которым необходимо разместить новый, и в меню Вставка выбрать команду Столбец. Далее можно приступить ко второму этапу создания таблиц - вводу данных;
  
• мастер таблиц позволяет выбрать поля для данной таблицы из множества определенных ранее таблиц (например, "Деловые контакты", "Список личного имущества" или "Рецепты");
  
• конструктор - определение всех параметров макета таблицы самостоятельно. Если выбран этот пункт, то на экране высветится окно конструктора (структуры таблицы).
  

Каждое поле таблицы должно иметь свое уникальное имя, которое указывается в первом столбце верхней части окна конструктора. Имена полей могут иметь длину до 64 символов и содержать все знаки, кроме ".", "!", "[ ]".

Любое поле характеризуется своим типом. Тип поля определяет характер данных, которые надо занести в данное поле.

Закончив определение нужных полей, их типов и свойств, нажмите на панели инструментов кнопку Сохранить, чтобы сохранить структуру таблицы, а затем введите имя нового объекта. При сохранении таблицы выводится приглашение создать ключевое поле. Рекомендуется нажать кнопку Да.

ЗАПОЛНЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ДАННЫМИ

Сначала необходимо открыть нужную таблицу. На экране появится окно таблицы для ввода данных. В ячейки таблицы можно вносить данные. Закончив ввод данных, сохраните внесенные изменения или закройте таблицу.
Созданные таблицы в виде пиктограмм находятся в текстовом поле вкладки Таблицы.

ИЗМЕНЕНИЕ СТРУКТУРЫ ТАБЛИЦЫ

Иногда возникает необходимость скорректировать структуру таблицы, добавив или удалив поле или изменив свойства полей. Для этого необходимо:
1) выделить нужную таблицу в текстовом поле;
2) нажать кнопку Конструктор;
3) внести нужные изменения в окне конструктора, используя пункты меню Правка и Вставка;
4) сохранить изменения.

ЗАПРОСЫ

Запрос - это специально подготовленный вопрос об информации в базе данных (например: сколько людей имеют одинаковый день рождения?).
С помощью запросов можно просматривать, анализировать и изменять данные из нескольких таблиц. Они также используются в качестве источника данных для форм и отчетов.
Наиболее часто используется запрос на выборку. При его выполнении данные, удовлетворяющие условиям отбора, выбираются из одной или нескольких таблиц и выводятся в определенном порядке.
Запросы можно создать с помощью мастера или самостоятельно. Для работы с запросами необходимо активизировать вкладку Запросы. Чтобы создать новый запрос, необходимо нажать кнопку Создать на вкладке Запросы, затем в диалоговом окне, которое появится на экране, необходимо выбрать способ создания запроса.
Если Вы выбрали Конструктор, на экране высветится окно, где необходимо определить название таблиц, которые будут использоваться, и добавить в запрос нажатием кнопки Добавить. После этого следует нажать кнопку Закрыть.

После заполнения образца запроса нажмите кнопку Сохранить. После сохранения в текстовом поле вкладки Запросы появится пиктограмма с названием вашего запроса.
Пример: образец запроса, в котором выводятся только два поля таблицы, выглядит следующим образом:

Чтобы просмотреть запрос, надо выделить соответствующую пиктограмму и нажать кнопку Открыть.
С открытыми запросами можно работать так же, как с таблицами. Все внесенные изменения данных автоматически сохраняются в соответствующей таблице.

ЗАДАНИЕ КРИТЕРИЯ В ЗАПРОСАХ

Иногда бывает необходимо просмотреть не все записи базы данных, а только те, которые отвечают заданному условию. Для этого устанавливают критерии отбора в запросах, используя специальные операторы.

Оператор Like позволяет задать образец искомого значения поля.

Синтаксис: Like <текстовая строка>, где <текстовая строка> определяет образец отбора и может содержать символы: "?" - для замены одного символа, и "*" - для замены нескольких символов.

Например: критерий Like "В*" для поля Фамилия обеспечит поиск в записной книжке людей, фамилия которых начинается на букву "В".

При составлении запросов можно использовать операторы сравнения: =, <>, <, >, >=, <=.

Для объединения нескольких критериев в одном запросе используют сложные логические условия:

- И для нескольких полей. Пример: необходимо просмотреть людей на "В" в одном столбце и на "Ж" в другом.

Строка условия отбора:

- И для одного поля. Все желаемые условия вводят в одно поле и разделяют словом "аnd". Пример: необходимо просмотреть людей на "В" и на "Ж" в одном столбце. Строка условия отбора:

- ИЛИ для нескольких полей. Пример: необходимо просмотреть всех людей, фамилии которых начинаются на "В" или телефоны - на 43. Строка условия отбора:

- ИЛИ для одного поля. Все желаемые условия вводят в одно поле и разделяют словом "оr". Пример: необходимо просмотреть людей, телефоны которых начинаются на "43" или на "34", в одном столбце. Строка условия отбора для поля Телефон:

ОТЧЕТЫ

Отчет - это гибкое и эффективное средство для организации данных при выводе на печать. С помощью отчета можно распечатать сведения в заданном виде.

Для создания отчета в окне базы данных нужно выбрать вкладку Отчеты и нажать кнопку Создать.

Пользователь имеет возможность разработать отчет самостоятельно или создать его с помощью мастера. Мастер по разработке отчетов выполняет всю рутинную работу и позволяет быстро разработать отчет. После вызова мастера выводятся диалоговые окна с приглашением ввести необходимые данные, и отчет создается на основании ответов пользователя.

Задания

5. Электронная таблица MICROSOFT EXCEL

ЗАПУСК

ПУСК Ю Программы Ю Microsoft Excel.

Электронная таблица Excel состоит из 16 384 строк и 256 столбцов. Строки пронумерованы целыми числами от 1 до 16384, а столбцы обозначены буквами латинского алфавита A, B, …, Z, AA, AB, IV.
Для указания на конкретную ячейку таблицы используется адрес.

ПОДГОТОВКА ПРОСТОЙ ТАБЛИЦЫ

Чтобы освоить на практике основные идеи обработки электронных таблиц, рассмотрим следующую задачу.

Пусть некая фирма, торгующая соками, ведет учет выручки (в тыс. руб.) по четырем магазинам города в летние месяцы 1999 г. Исходные данные: 12 чисел, каждое из которых - выручка по конкретному магазину за конкретный месяц. На основании этих данных надо найти производные величины:

• сумму выручки по городу за каждый месяц;
  
• сумму выручки по каждому магазину за все лето;
  
• общую сумму выручки;
  
• процент выручки по каждому магазину относительно общей суммы.
  

Прежде всего, введем в таблицу исходные данные:

• в ячейках А1 и А2 мы набрали текст, который представляет собой некоторую информацию ("Продажа соков по магазинам города N (тыс. руб.)", "Лето 1999 г.");
  
• в ячейках А6-А9 набраны названия магазинов;
  
• в ячейках С5-Е5 - названия месяцев;
  
• в ячейки С6, D6, …, E9 мы ввели числа, которые представляют собой исходные данные выручки;
  
• в ячейку С10 необходимо поместить сумму за июнь по всем магазинам, т. е. С6 + С7 + С8 + С9. Для этого в нее нужно ввести формулу = СУММ (С6 : С9);
  
• далее такие же формулы надо записать в ячейки D10 и Е10: = СУММ (D6 : D9) и = СУММ (Е6 : Е9).
  

Рассмотрим суммирование по месяцам:

• в ячейки F6-F10 запишем суммы по строкам 6-10 (т. е. = СУММ (С6 : Е6), = СУММ (С7 : Е7) и т. д.);
  
• в ячейке F10 окажется итоговая сумма - по всем магазинам за все лето.
  

Вместо процентов пока рассчитаем доли магазинов за все лето в полной сумме: = F6/F10 - это доля магазина "Центральный", = F7/F10 - доля магазина "Комета" и т. д. Рассчитав все доли, выделите столбец G и щелкните мышью на кнопке с изображением %. Все доли будут умножены на 100 и помечены знаком %.

МАСТЕР ДИАГРАММ

На рабочих листах можно создавать всевозможные графики и диаграммы. Для примера построим диаграмму к нашей задаче, на которой было бы показано распределение выручки за лето по магазинам города N.

Для создания такой диаграммы нужно:

• выделить столбцы А6 : А9 и G6 : G9 нашей таблицы (для выделения ячеек в разных местах таблицы нужно удерживать нажатой клавишу Ctrl);
  
• затем щелкнуть на кнопке Мастер диаграмм;
  
• в первом окне Тип диаграммы выберите тип Круговая (этот тип мы взяли просто для примера, при работе Вы будете использовать тот, который считаете наиболее подходящим), а затем щелкните на кнопке Далее;
  
• в окне Источник данных диаграммы должна быть нажата кнопка Столбцах, а затем - Далее;
  
• в окне Параметры диаграммы введите название диаграммы Продажа соков, отмените Добавить легенду, а затем щелкните на надписи Подписи данных и выберите надпись Категории и доли (выполняя описанные действия, оцените изменения, происходящие с Вашей диаграммой);
  
• в последнем окне Размещение диаграммы выберите имеющимся и щелкните на кнопке Готово.
  После этого на экране появится диаграмма к нашей задаче.

Задания

2. Подготовьте и заполните таблицу, воспользовавшись следующим бланком: По данным таблицы постройте диаграмму, отражающую начисления каждого месяца. Сохраните файл в своей папке и на дискете. Распечатайте полученную диаграмму.

6. Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют "n-факториал" и пишут

n! = 1 · 2 · 3· … · (n - 1) · n.

Пример.

3! = 1· 2· 3 = 6;

7. Множества

Пример. Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего - 16 человек. Сколько из них играют и волейбол, и в теннис?

Решение: 12 + 9 = 21, если сложить всех волейболистов и теннисистов, данных по условию задачи, но по условию задачи их должно быть 16, следовательно,
21 - 16 = 5 человек играют как в волейбол, так и в теннис.

Пример. Из 100 студентов педагогику сдали 28 человек, математику - 30 человек, философию - 42 человека, педагогику и математику - 8, математику и философию - 5, педагогику и философию - 10, все три экзамена - 3 человека. Сколько человек не сдало ни одного экзамена?

Решение: сначала надо разбить данные множества на непересекающиеся: студенты, сдавшие 1 экзамен, студенты, сдавшие 2 экзамена, и студенты, сдавшие 3 экзамена. Три экзамена сдали 3 студента - по условию.

Педагогику и математику сдали 8 человек, но в их число входят и 3 человека, сдавшие все 3 экзамена, поэтому можно сказать, что только педагогику и математику сдали 8 - 3 = 5 человек; аналогично рассуждая, можно получить: только педагогику и философию сдали 10 - 3 = 7 человек, только философию и математику сдали 5 - 3 = 2 человека.

Чтобы найти количество человек, сдавших только одну педагогику, необходимо от общего числа сдавших педагогику отнять количество студентов, сдавших 2 экзамена (педагогика и философия, педагогика и математика), и студентов, сдавших 3 экзамена.

Число студентов, сдавших только один экзамен - по педагогике - составит 28 - 5 - 7 - 3 = 13; аналогично -сдавшие только математику: 30 - 5 - 2 - 3 = 20 человек, и сдавшие только философию: 42 - 7 - 2 - 3 = 30 человек. Количество человек, не сдавших ни одного экзамена, можно получить путем вычитания из 100 числа студентов, сдавших хотя бы один экзамен: 100 - (13 + 20 + 30 + 7 + + 5 + 2 + 3) = 100 - 80 = 20 человек не сдали ни одного экзамена.

Пример. Дано множество А = {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Укажите, какие из следующих объектов являются элементами множества А, и какие - подмножествами: 2; {2}; {1, 2}; {1, 3}; {1, {1}}; {{1}}; {1, {2}}, {1,2,{1, 2}}.

Ответ:
2 - элемент,
{2} - подмножество,
{1, 2} - элемент, подмножество,
{1, 3} - подмножество,
{1, {1}} - подмножество,
{{1}} - подмножество,
{1, {2}} - не является ни элементом, ни множеством,
{1, 2, {1, 2}} - подмножество.

Задания

8. Комбинаторика

Правила суммы и произведения

Пример. На курсе 3 группы. В первой - 25 человек, во второй - 30, в третьей - 20. Сколькими способами из них можно выбрать одного студента?

Решение: из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй - 30, из третьей - 20. Чтобы найти ответ, нужно сложить все эти способы: 25 + 30 + 20 = 75.

Ответ: выбрать одного студента из трех групп можно 75 способами.

Пример. На курсе есть 3 группы. В первой - 25 человек, во второй - 30, в третьей - 20. Сколькими способами из каждой из них можно выбрать по одному студенту?

Решение: из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй - 30, из третьей - 20. Чтобы найти ответ, нужно перемножить эти числа: 25·30·20 = 15 000.

Ответ: для того чтобы из каждой группы выбрать по одному студенту, существует 15 000 способов.

Перестановки без повторений

Различные кортежи, которые можно построить из элементов данного множества, взятых ровно по одному разу, называются перестановками. Их число, т. е. число способов упорядочить данное множество из n элементов, есть

Пример. Сколькими способами можно расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек?

Решение: число способов есть число перестановок из 25 элементов, т. е.:

P₂₅ = 25 · 24 · 23·… · 1 = 25! = 1,55 · 1025.

Ответ: расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек можно 1,55·10²⁵ способами.

Размещения без повторений

Различные упорядоченные подмножества по m элементов данного множества, содержащего n элементов, называются размещениями из n по m. Их число равно:

Пример. Из группы, состоящей из 25 человек, надо выбрать шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: так как из 25 человек выбираются четверо и порядок важен, то число способов есть число размещений из 25 по 4, т. е.:

Ответ: выбрать из 25 человек шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски можно 303 600 способами.

Сочетания без повторений

Различные неупорядоченные подмножества по m элементов из данного множества, содержащего n элементов, называются сочетаниями из n по m. Их число равно:

В частности, : .=1

Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду из пяти человек?

Решение: так как из 25 человек выбираются 5 и порядок не важен, то число способов есть число сочетаний из 25 по 5, т. е.:

=

Ответ: из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду 53 130 способами.

Размещения с повторениями

Различные кортежи длины m, составленные из элементов данного множества, содержащего n элементов, так, что эти элементы в кортеже могут повторяться, называются размещениями с повторениями из n по m. Их число равно:

Пример. Группа из 25 студентов сдает экзамен. Возможные оценки: 2, 3, 4, 5. Сколькими способами может быть заполнена экзаменационная ведомость?

Решение: для каждого студента выбирается одна оценка из четырех, всего выбор делается 25 раз. Возможны повторения, так как каждая оценка может быть выбрана любое количество раз. Порядок важен, так как он показывает, какому именно студенту достается выбранная оценка. Следовательно, число способов есть число размещений с повторениями из 4 по 25:

Ответ: экзаменационная ведомость может быть заполнена 1,126·10¹⁵ способами.

Перестановки с повторениями

Составом кортежа длины n, состоящего из элементов a₁, a₂, …, a_m, называется кортеж (n₁, n₂, …, n_m), гдеn_i - число вхождений элемента a_i (i = 1, 2, …, m) в данный кортеж, причем n₁+n₂+…+n_m = n. Перестановки с повторениями - это различные кортежи данного состава. Их число равно:

Пример. Сколько различных "слов" можно составить, переставляя буквы слова "математика"?

Решение: буква "м" встречается в слове 2 раза, буква "а" - 3 раза, буква "т" - 2 раза, буквы "е", "и", "к" - по 1 разу. Следовательно, число слов - это число перестановок с повторениями:

Ответ: переставляя буквы слова "математика", можно составить 151 200 различных "слов".

Сочетания с повторениями

Пусть имеется множество из n элементов. Различные неупорядоченные наборы, составленные из m элементов этого множества так, что элементы в наборе могут повторяться и порядок их не важен, называются сочетаниями с повторениями из n по m. Их число равно:

Пример. Группа из 25 человек сдала экзамен. В отчете показано, сколько и каких оценок было получено. Сколькими способами может быть составлен отчет?

Решение: выбираем 25 раз из четырех оценок. Порядок не важен (в отчете важно общее количество "двоек", "троек", "четверок" и "пятерок", которые, конечно, могут повторяться). Следовательно, число способов есть число сочетаний с повторениями из 4 по 25, т. е.:

Ответ: отчет может быть составлен 3 276 способами.

При решении комбинаторных задач

следует ответить на следующие вопросы:

1. Из какого множества осуществляется выбор (надо найти n)?
2. Что требуется: расставить все в ряд (перестановки Р), или выбрать часть (найти m)?
3. Важен ли порядок?
Если важен, то применяем правило размещений А,
если нет - правило сочетаний С.
4. Возможны ли повторения?

Пример. В фортепианном кружке занимается 10 человек, в кружке художественного слова - 15, в вокальном - 12 и в фотокружке - 20. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и одного фотографа?

Решение: разобьем задачу на подзадачи.

1. Сначала найдем, сколькими способами можно выбрать чтецов:

а) производим выбор из 15 человек, n = 15;
б) выбираем 4 человек, m = 4;
в) порядок не важен, т. е. используем правило сочетаний, ;
г) сочетания без повторений, так как люди выбираются разные.

2. Проводя подобные рассуждения, выбираем пианистов: 3 из 10 - способов.

3. Выбираем певцов: 5 из 12 - способов.

4. Выбираем фотографа: 1 из 20 - способов.
Поскольку выбор производится по всем четырем позициям, а не по одной, применяем правило произведения:

Ответ: бригаду можно составить 2,595·10⁹ способами.

Пример. В классе 15 мальчиков и 20 девочек. Для концерта надо выделить дуэты: танцевальный, певцов и гимнастов. Сколькими способами это можно сделать при условии, что все дети могут танцевать, петь, выполнять гимнастические упражнения, а дуэт должны составлять мальчик и девочка?

Решение: разобьем задачу на подзадачи.

1. Найдем, сколькими способами для концерта можно выбрать мальчиков:

1) n = 15;
2) m = 3;
3) порядок важен, так как в списке фамилии будут записаны по порядку, кто - гимнаст, кто - певец и т. д. Таким образом применим правило размещений ;
4) повторения невозможны, так как одного человека нельзя выбрать несколько раз.

2. Найдем, сколькими способами для концерта можно выбрать девочек:

1) n = 20;
2) m = 3;

3) порядок важен;

4) повторения невозможны.

Для того чтобы найти окончательный ответ, перемножим полученные выражения (применяем правило произведения потому, что выбираются и мальчик, и девочка):

· = 2730 · 6840 = 18 673 200.

Ответ: три дуэта можно выбрать 1,867· 10⁷ способами.

Задания

9. Теория вероятности

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Совокупность образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

События, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Классическое определение вероятности

Пример. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Какова вероятность вынуть черный шар, если вынимается один шар?

Решение: пусть событие А - вынуть черный шар, тогда
m = 5 - количество черных шаров,
n = 20 - количество всех шаров.

Статистическое определение вероятности

Пример. Французский естествоиспытатель XVIII в. Ж. Л. Бюффон при экспериментальной проверке закона больших чисел бросил монету 4 040 раз, в результате чего герб выпал 2 048 раз. Найти относительную частоту выпадения герба в данном эксперименте.

Решение: событие А - выпадение герба, абсолютная частота появления герба m = 2 048, общее количество n = 4 040, тогда

Геометрическое определение вероятности

Пример. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте прямоугольника. Какова вероятность, что расстояние от нее до ближайшей стороны прямоугольника не больше 1/3?

Решение: А - точка попала в заштрихованную область. Прямоугольник со сторонами 1 и 2 имеет площадь S₁ = 1 · 2 = 2 ед². Площадь области, в которую должна попасть точка, равна S = S₁ - S₂; S = 2 - 4/3 · 1/3 = 14/9 ед². Вероятность попадания точки в искомую область равна:

Сложение вероятностей

Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B, т. е. в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Пример. В магазин поступили 100 телевизоров "Sony", из них 10 - японской сборки, 20 - корейской и 70 - китайской. Найти вероятность, что купленный наудачу телевизор окажется японской или корейской сборки.

Решение: пусть событие А - купленный телевизор японской сборки, событие В - телевизор корейской сборки, а событие А + В - купленный телевизор, который окажется японской или корейской сборки.

 

События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме

P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и  равна единице:

P (A) + P ( ) = 1.

Вероятность суммы полной группы событий равна 1.

Пример. Задачу, рассмотренную в предыдущем примере, можно решить на основе сформулированного следствия.

Решение: пусть событие А - купленный телевизор китайской сборки, тогда - телевизор не китайской сборки.

По следствию изложенной теоремы найдем вероятность противоположного события:

следовательно,

Задания

Свойства вероятности

Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В, т. е. оба события произошли.

Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Теорема 1. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей:

P (AB) = P (A) P (B).

Пример. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад один шар, затем возвращают его в урну, перемешивают и снова вынимают один шар. Найти вероятность, что оба раза извлекли белые шары.

Решение: пусть событие А - первый вынутый шар белый, событие В - второй вынутый шар белый, событие АВ - оба вынутых шара были белыми.

   Р (В) = Р (А).

События А и В независимые, т. к. шар возвращают обратно в урну, следовательно, событие В не зависит от того, произошло ли событие А или нет. По теореме 1:

P (AB) = P (A) P (B) = 0,77 · 0,77 = 0,5929.

Условная вероятность

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью P_A (B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Пример. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен белый шар.

Решение: пусть события А - первый вынутый шар белый, событие В - второй вынутый шар белый.
События А и В зависимые, условная вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило (m = 20 - 1 = 19 - осталось белых шаров, n = 26 - 1 = 25 - осталось всего шаров), будет такова:

P_A (B) =

Теорема 2. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило.

P (AB) = P (A)P_А (B).

Пример. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение: пусть событие А - первый вынутый шар белый, событие В - второй вынутый шар белый, событие АВ - оба вынутых шара белые.

P (А) =   P_A (B) =

События А и В зависимые, значит:

P (АB) = P (А) P_A (B) = 0,77 Ч 0,76 = 0,5852.

Теорема 3. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

P (А + B) = P (А) + P (B) - Р (АВ).

Пример. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что хотя бы один шар белый.

Решение: пусть событие А - первый вынутый шар белый, событие В - второй вынутый шар белый, событие АВ - оба вынутых шара белые, событие А + В - либо первый шар белый, либо второй шар белый, либо оба шара белые, т. е. вынули хотя бы один белый шар.

P (B) = P (А) = P_A (B) = P (AB) = P (A) P_A (B) = 0,77 · 0,76 = 0,5852.

События А и В - совместные, т. к. могут произойти одновременно. По теореме 3:

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,77 + 0,77 - 0,5852 = 0,9548.

Формула полной вероятности

Теорема 4 (формула полной вероятности). Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий B₁, B₂, …, B_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

P (A) = P (В₁) Ч PВ₁ (А) + P (В₂) Ч P_В2 (А) + … + P (В_n) Ч P_Вn (A) =

Пример. К экзамену по дисциплине "Математика и информатика" преподаватель подготовил 42 задачи, 20 - по теории вероятности, 10 - по комбинаторике, 2 - по теории множеств и 10 - по статистике. Какова вероятность, что студент решит первую же попавшуюся задачу, если он умеет решать 15 видов задач по теории вероятности, 7 - по комбинаторике, все задачи по теории множеств и 3 - по статистике.

Решение: событие А - студент решит задачу; В₁ - попалась задача по теории вероятности; В₂ - попалась задача по комбинаторике; В₃ - попалась задача по теории множеств; В₄ - попалась задача по статистике; - вероятность того, что студенту попалась задача по теории вероятности, и он знает, как ее решить.

   

   

 

Р (А) = 0,47 · 0,75 + 0,24 · 0,7 + 0,05 · 1 + 0,24 · 0,3 = 0,3525 + 0,168 + 0,05 + 0,072 = 0,6425.

Теорема 5 (формула Байеса). Если существуют n попарно несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, и известны условные вероятности события А, то можно найти вероятность того, что событие А произошло при условии появления некоторого события В_k, по формуле:

Пример. На сборку поступают детали из двух цехов: 40 % - из первого и 60 % - из второго. В продукции первого цеха 3 % брака, в продукции второго - 2 %. Взятая нами деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она из второго цеха?

Решение: событие А - деталь бракованная; гипотеза В₁ - деталь из первого цеха; В₂ - деталь из второго цеха. По условию:

P (В₁) = 0,4; P (В₂) = 0,6; P_В1(A) = 0,03; P_В2 (A) = 0,02.

Задания

10. Случайные величины

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Закон распределения случайных величин

где x₁, x₂, …, x_n - случайные величины, соответствующие полной группе событий; р₁ + р₂ + … + р_n = 1.

Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1 000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение: согласно закону распределения х принимает значения: x₁ = 0 - невыигрышный билет, x₂ = 1 - выигрыш в 1 руб., x₃ = в 100 руб. и x₄ = 1 000 руб.

Соответствующие вероятности будут: , где 100 - число выигрышей по 1 руб., а 10 000 - общее количество билетов;

  

р₁ = 1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 0,9889.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине: М (С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (С·Х) = С·М (Х).
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и Y равно сумме их математических ожиданий: M (X + Y) = M (X) + M (Y).
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и Y равно произведению их математических ожиданий: M (XY) = M(X) Ч M(Y).
5. Математическое ожидание разности двух случайных величин Х и Y равно разности их математических ожиданий: M (X - Y) = M(X) - M(Y).

Пример. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.

Решение: М(Х) = 0 · 0,9889 + 1 · 0,01 + 100 · 0,001 + 1000 · 0,0001 = 0,21.

Очевидно, М(Х) = 21 коп. - справедливая цена одного билета.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: D(X) = M [(X - M(X))²].

Свойства дисперсии дискретной случайной величины:

1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания: D(X) = M(X²) - M²(X).
2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С) = 0.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(С·Х) = С²·D(Х).
4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и Y равно сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(X) + D(Y).
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равно сумме дисперсий этих величин: D(X - Y) = D(X) + D(Y).

Средним квадратическим отклонением s(Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии.

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Решение: по свойству 1 дисперсию можно найти по формуле:

D(X) = M(X²) - M²(X),

где M(X²) = · р1 + · р2+ · р3 = =1² · 0,3 + 2² · 0,5 + 5² · 0,2 = 0,3 + 2 + 5 = 7,3;
M ²(X) = (х₁ · р₁ + х₂ · р₂ + х₃ · р₃)2 = = (1 · 0,3 + 2 · 0,5 + + 5 · 0,2)² = (0,3 + 1 + 1)² = 5,29.
D(X) = 7,3 - 5,29 = 2,01.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины X_k, где k - натуральное число:

n_k = M(X_k).

M(X) = n₁; D(X) = M(X²) - M²(X) = n₂ - .

Центальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины [X - (X)]k:

m_k = M([X - M(X)]^k).
m₁ = M([X - M(X)]) = 0;
m₂ = M([X - M(X)]2) = D(X).

Законы распределения случайных величин.
Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 - р. Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит т раз (m Ј n). Формула Бернулли:

Пример. Пусть всхожесть семян определенного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
Решение: а) в данном случае n = 4; m = 3; p = 0,9; q = 1 - p; q = 0,1. Применяя формулу Бернулли, получим:

б) искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей получим:

Закон биномиального распределения

Пример. Монета брошена два раза. Напишите в виде таблицы закон распределения случайной величины Х - числа выпадения герба.

Решение: вероятность выпадения герба в каждом бросании монеты p = 1/2. Следовательно, вероятность невыпадения герба следующая: q=1-p=1-1/2=1/2. При двух бросаниях герб может либо совсем не появиться, либо появиться 1 раз, либо появится 2 раза. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2. Найдем вероятность этих возможных значений по формуле Бернулли:

    

Закон распределения:

Характеристики дискретной случайной величины,
распределенной биномиально

Х_i - число появлений события А в каждом испытании - представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Поэтому М(Хi) = 0 Ч q + 1 Ч p = p. Но так как X = X₁ + … +X_n, то M(X) = np.
Аналогично

М(X_i²) = 0²Ч q + 1²Ч p = p. Поэтому

В силу независимости X₁, X₂, …, X_n

Отсюда

Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Решение: по условию n = 20, p = 0,3, следовательно, q = 1 - 0,3 = 0,7. Тогда M(X) = np = 20 · 0,3 = 6; D(X) = npq = 20 · 0,3 · 0,7 = 4,2;

Закон нормального распределения

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f(x) определяется формулой:

где а совпадает с математическим ожиданием величины Х:а = М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х:

Пример. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 30, s = 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).
Решение:

Задания

11. Элементы математической статистики

Важнейшая характеристика выборки - объем выборки, т. е. число элементов в ней. Объем выборки принято обозначать символом n.

Если произвести группировку вариант по отдельным значениям признака или по интервалам изменения признака и результат группировки представить рядом вариант или интервалов вариаций, расположенных в порядке их возрастания, и рядом соответствующих частот, то получим вариационный ряд (соответственно дискретный или интервальный).

Группировка представляет собой процесс систематизации, или упорядочения, первичных данных с целью извлечения содержащейся в них информации. Делается это одним из следующих способов:

а) по формуле Стержеса:

б) с помощью таблицы:

Если число интервалов выбрано, то ширина каждого из них определяется по следующей формуле:

Пример. Построить дискретный вариационный ряд и гистограмму, начертить полигон для следующего распределения температуры тела больных в отделении реанимации за день:
39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 37 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 39 41 41 42.

Решение: для построения вариационного ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту:

Числовые характеристики выборки

Среднее арифметическое представляет собой такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю.

Медианой (Ме) называется такое значение признака X, одна половина значений экспериментальных данных которого меньше, а вторая половина - больше.

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающегося в выборке наиболее часто.
Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным. (Более подробно см. материалы лекции).

Пример. Найти среднее арифметическое, моду и медиану для задачи, рассмотренной в предыдущем примере.

Решение: среднее арифметическое:

мода: Мо = 41, так как это значение встречается наиболее часто;
медиана:

Медиана равна среднему арифметическому 22 и 23 членов сгруппированных данных: Х₂₂ = 41, Х₂₃ = 41, следовательно, Ме = (41+41)/2=41.

Задания