|
Современная математика насчитывает гораздо больше математических теорий:
математическая статистика и теория вероятности, математическое моделирование,
численные методы, теория групп, теория чисел, векторная алгебра, теория
множеств, аналитическая и проективная геометрия, математический анализ
и т. д.
Несмотря на то что математических теорий достаточно
много и они, на первый взгляд, могут и не иметь ничего общего, внутренняя
эволюция математической науки упрочила единство ее различных частей
и создала центральное ядро. Существенным в этой эволюции является систематизация
отношений, существующих между различными математическими теориями; ее
итогом явилось направление, которое обычно называют "аксиоматический
метод". В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом,
начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий,
с помощью которых образуются утверждения, называемые аксиомами.
Прочие понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и
из аксиом и определений выводятся теоремы. Теория становится рекурсивно
структурированной, ее можно представить в виде матрешки, в которой понятия
и их свойства как бы являются вложенными друг в друга. Каждая математическая
теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга
согласно правилам логики, т. е. объединяющим началом математики является
"дедуктивное рассуждение". Развитие математической теории
в таком стиле - это первый шаг по направлению к ее формализации.
6.2. Математика Древнего Вавилона
В 1849-1850 гг. в развалинах древнего города Ниневия была найдена древнейшая
библиотека. Выяснилось, что почти за 2000 лет до н. э. были составлены
таблицы умножения, квадратов последовательных целых чисел. Для решения
квадратных уравнений народы Месопатамии разработали систему действий,
эквивалентную современной формуле. Но не были найдены рассуждения, приведшие
к используемому алгоритму, т. е. математику Древнего Вавилона можно
было назвать рецептурной, хотя неизвестно, каким образом были
получены эти рецепты.
Для обозначения чисел вавилоняне пользовались двумя
значками: вертикальным и горизонтальным клиньями. Числа от 1 до 9 записывались
с помощью соответствующего числа вертикальных клиньев; 10 - горизонтальный
клин, 60 - снова вертикальный клин. Данную систему нельзя назвать совершенной,
так как одна комбинация могла обозначать различные числа.
Следы вавилонской нумерации сохранились до сих пор: 1 час = 60 минут,
1 минута = 60 секунд; аналогично при делении окружности на градусы,
минуты, секунды. Такая традиция пришла из астрономии. Вавилоняне проводили
систематические наблюдения за звездным небом, составляли календарь,
вычисляли периоды обращения Луны и всех планет, могли предсказывать
солнечные и лунные затмения. Эти знания астрономии впоследствии перешли
к грекам, которые вместе с астрономическими таблицами заимствовали и
шестидесятеричную нумерацию.
При развитии математики первоначально формируются понятия "больше",
"меньше", "равно", все это тесно связано с конкретными
предметами. Счет предметов производили чаще всего с помощью пальцев.
Поэтому самыми распространенными являются десятеричная или двадцатеричная
системы счисления. С появлением нуля возникла позиционная система счисления.
6.3. Геометрическая алгебра Древней Греции
VII-V вв. до н. э. ознаменовались для Греции великими событиями: создание
демократического государства, возникновение жанров трагедии и комедии,
создание математики как абстрактной теоретической науки, основанной
на системе доказательств.
В основу математических доказательств легли опыты Фалеса. Он создал
метод доказательства. Фалес Милетский (ок. 625 - ок. 547 до н.
э.) - древнегреческий философ, родоначальник античной философии.
Систематическое введение доказательств в математику
стимулировало ее быстрое развитие. В Греции V-III вв. до н. э. были
созданы первые математические теории:
1) система евклидовой геометрии;
2) элементарная теория чисел;
3) теория конических сечений (ныне они называются кривыми второго
порядка: окружность, гипербола, эллипс, парабола и т. д.);
4) первая теория действительных чисел;
5) элементы теории пределов.
Окончательное преобразование математической науки из рецептурной (Египет,
Вавилон) в доказательную произошло в школе Пифагора. Около 530
г. до н. э. Пифагор приехал с острова Самос, своей родины, в Кратон
(Южная Италия), где и основал пифагорийский союз.
Занятия пифагорийцев:
- находили варианты, в которых величины всех сторон прямоугольного
треугольника выражались целыми числами: x2 + y2 = z2 (x = 3, y = 4,
z = 5 или x = 5, y = 12, z = 13);
- наделяли цифры свойствами, рассчитывали характер человека в зависимости
от дня рождения, предсказывали будущее;
- находили совершенные числа, равные сумме всех своих делителей: 6
= 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496, 8128 и т. д.;
- находили дружественные числа - два числа, в которых каждое число
равнялось сумме делителей другого: "Мой друг тот, кто является
вторым я, как числа 220 и 284",- говорил Пифагор;
- разделив числа на четные и нечетные, заметили, что последовательные
квадраты целых чисел равнялись сумме последовательных нечетных чисел:
12 = 1; 22 = 1 + 3; 32 = 1 + 3 + 5 и т. д.
К математическим наукам пифагорийцы относили арифметику, геометрию,
астрономию, музыку (ноту можно связать с числом: высота звучания струны
зависит от ее длины).
В Древней Греции дифференцировалось обучение математики: молодые люди
аристократического происхождения изучали математику как логическую систему,
а ремесленники воспринимали математику лишь как сборник рецептов при
решении стандартных вопросов их специальности. С этого времени берет
свое начало и разделение математики на чистую и прикладную.
6.4. Буквенная алгебра
II-I вв. до н. э. были временем стремительного возвышения Рима. В 30-е
годы до н. э. пало последнее из эллинистических государств - Египет
и была основана Римская империя. Но греческая наука вновь оживает, Александрия
остается научным и культурным центром древнего мира. Конец I - начало
II в. н. э. называют греческим возрождением:
- в I в. в Александрии работал математик и инженер-изобретатель Герон,
который первым открыл движущую силу пара;
- в конце I в. математик и астроном Менелат создал системы
геометрии и тригонометрии на сфере;
- в II в. астроном и математик Клавдий Птолемей создал геоцентрическую
модель Солнечной системы (просуществовала до XV-XVI вв).
Эти открытия вели к началам вычислительной математики, к расширению
понятия числа. Эти тенденции проявились в творчестве величайшего алгебраиста
древности Диофанта Александрийского. В работе "Арифметика"
он расширил числовую область до поля рациональных чисел - появились
отрицательные числа и правила знаков, ввел алгебраическую символику
для первых шести положительных и отрицательных степеней неизвестного,
для обозначения вычитания и равенства. Диофант был последним великим
математиком древности. Последующих ученых можно охарактеризовать только
как более или менее талантливых комментаторов. В течение более восьмиста
лет (VII-XV вв.) научные исследования вели народы, населявшие Иран,
Среднюю Азию, Малую Азию, Северную Африку. В VIII в. в багдадском доме
мудрости работала целая коллегия переводчиков и комментаторов. Были
переведены "Начала" Евклида, многие сочинения Архимеда, философские
трактаты Аристотеля. Алгебра в это время уже воспринимается как самостоятельная
наука - наука о решении уравнений. Начиная с X-XII вв. из научных центров
арабского Востока и Византии новые математические идеи стали проникать
в Европу.
Первым крупным математиком Европы был Леонардо Пизанский (или Фибоначчи)
(1180-1240). Он родился в богатом торговом городе-республике Пизе, юношей
жил в Алжире, где его отец был торговым консулом. Леонардо познакомился
с десятичной системой счисления, принятой у арабов, и с их алгеброй.
Он путешествовал по Египту, Сирии, Провансу и Сицилии. Вернувшись домой
в Пизу, издал там в 1209 г. книгу "Liber abaci", в которой
изложил десятичную позиционную систему и правила арифметических действий
в ней, арифметику, геометрию и алгебру. Эта книга 250 лет считалось
основной при изучении математики. В ней были приведены решения квадратных
уравнений, рассматривались арифметическая и геометрическая прогрессии,
исследован ряд Фибоначчи:
un+1 = un
+ un-1 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, …
Европейская алгебра XVI в. описала решение уравнений III и IV степени.
Появились комплексные числа.
Франсуа Виет (1540-1603) ввел обозначения для произвольных постоянных
величин, входящих в задачу. Появились формулы, что позволило создать
алгоритмы решения однотипных задач, сделало алгебру наиболее наглядной.
Буквенное исчисление позволяет заменить часть мыслительных операций
механическими вычислениями, правда, это стало возможным лишь в XX в.,
с появлением программируемых вычислительных устройств. В 1585-1589 гг.
Виет работает над большим трудом "Искусство анализа, или Новая
алгебра". Книга не была закончена. Но в 1646 г. сочинения Виета
были собраны учениками и изданы в Лейдене. Эти труды перевернули всю
математику нового времени.
6.5. Дифференциальное и интегральное исчисление
К XVII в. в задачах механики возникают новые кривые линии. Необходимость
строить касательные и вычислять площади требовала создания новых методов.
И к концу XVII в. были созданы основы интегрального и дифференциального
исчисления. Основоположниками являются Исаак Ньютон (1643-1727)
и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), работавшие независимо
друг от друга. Оба они пришли к одной и той же вычислительной задаче,
которая легла в основу дифференциального исчисления. Эта задача состоит
в том, чтобы по данной функции f (t) отыскать другую функцию f ' (t)
(производную), представляющую скорость изменения функции f (t) относительно
изменения аргумента.
Производная есть функция, определяемая для каждого х как предел
(если он существует) отношения приращения функции к соответствующему
бесконечно малому приращению аргумента:
Пример. Найти производную функции f (x) = xn:
1) по формуле; 2) по определению производной.
Решение:
1) по формуле: f (x) = xn; f ' (x) = nxn-1;
f (x) = x2; f ' (x) = 2 x; f (7) = 49; f ' (7) = 14;
2) по определению предела:
f (x) = 72 = 49; f (x + D
x) = (7 + D x)2
= 49 + 14D x + Dx2;
Эти методы позволили изучать движения различных тел и механизмов, определять
площади и объемы произвольных фигур и тел. Многие инженерные задачи
и вопросы из различных областей наук, таких как физика, химия, биология,
задачи прогнозирования рассматриваются и решаются с помощью интегрального
и дифференциального исчисления. Все динамические процессы описываются
средствами дифференциального и интегрального исчисления.
Вопросы
1. Какой вид утверждения называется аксиомой?
2. Что послужило основой создания позиционной системы счисления? Приведите
примеры позиционных и непозиционных известных систем счисления.
3. В чем основное отличие принципа организации математики (как науки)
Древнего Вавилона от математики Древней Греции?
4. Какие преимущества привнесла в математику буквенная алгебра, разработанная
Франсуа Виетом?
5. Как можно иначе представить термин "бесконечно малое значение
х"?
Ключевые слова
аксиома, система счисления,
математические теории, теория
чисел, производная, дифференциальное исчисление.
|
