Тульский государственный педагогический университет им Л.Н. Толстого
Р.Р. Яфаева Н.Ю. Игнатова
Информатика и математика

e-mail:
physics@tspu.tula.ru

ЗАДАЧИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

1. Комбинаторика
2. Классическое определение вероятности
3. Геометрическая вероятность
4. Теория сложения и умножения вероятностей
5. Формула полной вероятности и формула Байеса
6. Повторные независимые испытания
7. Дискретные случайные величины
8. Непрерывные случайные величины

________________________________________________________________________________

1. Комбинаторика

1. Сколькими способами из группы в 24 человека можно выбрать двоих делегатов на конференцию?

2. Сколькими способами 5 человек могут стать в очередь друг за другом?

3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

5. Сколькими способами из группы спортсменов в 18 человек можно выбрать двоих участников соревнования?

6. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если нечетные и четные цифры в числе чередуются и не повторяются?

7. Фотограф выстраивает в ряд трех мужчин и четырех женщин так, чтобы мужчины и женщины чередовались. Сколькими способами он может это сделать?

8. Студент сдает в сессию 3 экзамена. Сколько существует различных комбинаций оценок, которые он может получить?

9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе идут в порядке возрастания?

10. Сколькими способами можно купить набор из трех пирожных, если в продаже имеются 4 сорта пирожных и пирожные в наборе могут повторяться?

11. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово "ананас"?

12. Сколько различных вариантов распределения оценок за контрольную работу может быть для трех студентов, если возможны оценки "2", "3", "4" , "5"?

13. Сколькими способами можно выбрать тройку, семерку, туза из колоды в 52 карты?

14. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых =" составлено слово "знания"?

15. Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе студентов из 24 человек?

16. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово "молоко"?

2. Классическое определение вероятности

1. Трое мужчин и четыре женщины случайным образом выстраиваются в ряд для фотографирования. Какова вероятность, что мужчины и женщины будут чередоваться?

2. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они разного цвета?

3. Из карточек, из которых составлено слово "дисплей", случайным образом выбраны 3 и выложены в ряд. Какова вероятность, что они образовали слово "лес"?

4. Карточки с буквами "к", "к", "о", "о", "с" случайным образом выкладывают в ряд. Какова вероятность, что образуется слово "кокос"?

5. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они белого цвета?

6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубика. Какова вероятность, что у случайно выбранного кубика есть окрашенная грань?

7. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они черного цвета?

8. В n-угольнике случайным образом выбраны 2 вершины. Какова вероятность, что они принадлежат одной диагонали?

9. Из колоды в 52 карты случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность, что это тройка, семерка, туз?

10. Карточки с буквами "а", "а", "а", "н", "н", "с" случайным образом выкладывают в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово "ананас"?

11. В урне лежат 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они разного цвета?

12. Какова вероятность, что при двух бросаниях игральной кости в сумме выпадет не менее 3 очков?

13. Студент из 30 вопросов к экзамену усвоил 24. Какова вероятность, что он знает оба из доставшихся ему вопросов?

14. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубика. Какова вероятность, что у случайно выбранного кубика есть 2 окрашенные грани?

15. Длины сторон прямоугольника выражаются однозначными натуральными числами, выбранными случайным образом. Какова вероятность, что его площадь выражается нечетным числом?

16. В группе из 5 юношей и 3 девушек по жребию разыгрываются 2 билета в кино. Какова вероятность, что билеты достанутся юноше и девушке?

17. Из карточек разрезной азбуки составлено слово "бревно". Карточки перемешиваются, затем случайным образом выбираются и выкладываются в ряд 3 карточки. Какова вероятность, что они образуют слово "бор"?

18. Из колоды в 36 карты случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность, что они пиковой масти?

19. Студент сдает в сессию 3 экзамена. За каждый экзамен равновозможны оценки "5", "4", "3", "2". Стипендия назначается при отсутствии оценок "3" и "2". Какова вероятность назначения стипендии?

20. Из колоды в 36 карт случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность, что это тузы?

3. Геометрическая вероятность

1. В квадрат со стороной 1 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте квадрата. Какова вероятность, что расстояние от нее до центра квадрата не больше 0,5?

2. В круг радиуса 1 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте круга. Какова вероятность, что расстояние от нее до центра круга не больше 0,5?

3. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте прямоугольника. Какова вероятность, что расстояние от нее до выделенной вершины прямоугольника не больше 1?

4. В куб с ребром 1 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте куба. Какова вероятность, что расстояние от нее до выделенной вершины куба меньше 0,5?

5. На окружности случайным образом выбрали 2 точки, положение которых равновозможно в любом месте окружности. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше радиуса окружности?

4. Теорема сложения и умножения вероятностей

1. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,5. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

2. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность, что они обе стандартные?

3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну. Какова вероятность, что будут вынуты пики или туз?

4. Слово "ананас" составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди 3 карточки и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что из них образуется слово "сан"?

5. В лабиринте на правильном маршруте имеются 3 развилки, на каждой из которых нужно выбирать одно из двух направлений. Какова вероятность, что испытуемый пройдет лабиринт с первой попытки?

6. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 2 или на 5?

7. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,7. Какова вероятность ровно одного попадания?

8. Из карточек с буквами составлено слово "колокол". Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбирают 4 и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово "клок"?

9. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар белый, а второй черный?

10. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй - 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара белые?

11. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 3 или на 5?

12. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар черный, а второй белый?

13. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй - 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара черные?

14. Слово "шарада" составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди и выкладывают в ряд 3 карточки. Какова вероятность, что из них образуется слово "шар"?

5. Формула полной вероятности и формула Байеса

1. В магазин поступили партии обуви с двух фабрик: 30 % - с первой и 70 % - со второй. В продукции первой фабрики 30 % обуви коричневого цвета, в продукции второй - 80 %. Какова вероятность, что наугад взятая пара обуви окажется коричневого цвета?

2. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй - 5 белых и 2 черных. Из первой коробки во вторую случайным образом переложили один шар, перемешали и извлекли шар из второй коробки. Какова вероятность, что он белый?

3. В группе спортсменов 20 лыжников и 8 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,8, для бегуна - 0,7. Спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?

4. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 - во втором, остальные - в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй - с вероятностью 0,6. Взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе?

6. Повторные независимые испытания

1. Какова вероятность, что в серии из 5 выстрелов будет ровно одно попадание, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3?

2. Всхожесть семян равна 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян взойдет не менее двух?

3. Какова вероятность, что при 5 бросаниях игральной кости ни разу не выпадет 6 очков?

4. В институте девушки составляют 70 % от числа студентов. Какова вероятность, что среди первых четырех встретившихся студентов все девушки?

7. Дискретные случайные величины

1) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	4	5
p	0,1	0,4	0,2	0,2	0,1

2) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	4	6
p	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

3) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	5	6
p	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

4) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	4	5	6
p	0,2	0,1	0,2	0,4	0,1

5) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	3	4	5	6
p	0,1	0,4	0,2	0,2	0,1

6) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	4	6
p	0,2	0,3	0,1	0,3	0,1

7) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	5	6
p	0,2	0,1	0,2	0,1	0,4

8) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	4	5	6
p	0,1	0,1	0,2	0,4	0,2

9) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	3	4	5	6
p	0,3	0,1	0,4	0,1	0,1

10) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	4	5	6
p	0,2	0,1	0,2	0,1	0,4

11) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	4	5
p	0,1	0,4	0,1	0,1	0,3

12) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	4	6
p	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

13) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	5	6
p	0,1	0,1	0,4	0,3	0,1

14) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	4	5	6
p	0,3	0,1	0,2	0,3	0,1

15) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	3	4	5	6
p	0,2	0,4	0,1	0,2	0,1

16) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	4	6
p	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

17) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	3	5	6
p	0,2	0,2	0,1	0,1	0,4

18) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	4	5	6
p	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

19) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	3	4	5	6
p	0,3	0,2	0,3	0,1	0,1

20) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

X	1	2	4	5	6
p	0,2	0,1	0,1	0,2	0,4

8. Непрерывные случайные величины

1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой

Найдите P(X < p/4).

2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > -1).

3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(-p/4 < X < p/4).

4. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > 1).

5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X < 1).

6. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > 1/2).

7. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > 1/3).

8. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > 2/3).

9. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(p/4 < X < 3p/4).

10. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X і 1).

11. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X < 3).

12. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X і 1).

13. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P( X < 2)

14. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > 2).

15. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X Ј 1).

16. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите

17. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X < 2).

18. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P( X < 2).

19. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите

20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
Найдите P(X > 3).

Посредственный учитель рассказывает, хороший учитель объясняет, замечательный учитель показывает, гениальный учитель вдохновляет