ЛЕКЦИЯ №11

ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

“Все страньше и страньше”,-
подумала Алиса.
(Л. Кэррол)

1. Понятие о диэлектриках.

К диэлектрикам относятся вещества, плохо проводящие электрический ток (плохо по сравнению с проводниками). Термин введен Фарадеем (dia (греч.) - через) для обозначения сред, через которые проникает электрическое поле (напомним, что через проводники электростатическое поле не проникает).

Выясним, что происходит с диэлектриком в электрическом поле. Зарядим электрометр и отметим его показания. Приблизим к электрометру незаряженный диэлектрик, например, толстую стеклянную пластину (рис.11.1). Показания электрометра уменьшаются.

Такой же эффект наблюдается и для проводников. Как отмечалось ранее (лк. №9 п.1), на теле возникают индукционные заряды, которые изменяют поле.

Появление зарядов ведет к возникновению сил, действующих даже на незаряженные диэлектрики. Стеклянная или парафиновая палочка, подвешенная на нити, будет поворачиваться вдоль электрического поля (рис.11.2). Следовательно, на ближайшей к шару части палочки появляются заряды, разноименные с зарядом шара, а на удаленной части - одноименные.

Однако между проводниками и диэлектриками есть существенное различие. Повторим опыт, описанный в лк.№9 п.1, но к электроскопам подсоединим диэлектрик (рис.11.3).

Если разделить его на две части, то они окажутся в целом незаряженными, и листочки электроскопов не разойдутся.

Приведенные опыты показывают, что на первоначально незаряженных диэлектриках в электрическом поле возникают электрические заряды. На диэлектрике появляются электрические полюсы, отчего явление получило название поляризации диэлектриков. Появившиеся заряды будем называть поляризационными. Их существенное отличие от свободных зарядов в проводниках заключается в том, что отделить друг от друга поляризационные заряды невозможно, поэтому их еще называют связанными.




rem: Заметим, что в любом веществе есть как свободные, так и связанные заряды. Внешнее электрическое поле действует двояко: во-первых, начинает перемещать свободные заряды, то есть возникает электрический ток; во-вторых, перераспределяет электрические заряды, то есть поляризует вещество (рис.11.4). В зависимости от того, какой процесс преобладает, вещества и делятся на проводники и диэлектрики. Очевидно, что изменяя внешние условия, например, температуру, можно изменить баланс между этими процессами. Поэтому мы и отмечаем, что в природе нет абсолютных диэлектриков или абсолютных проводников.

2. Поляризованность.

Будем считать, что нейтральная молекула (или атом) в диэлектрике под воздействием электрического поля превращаются в диполь, который имеет дипольный момент

     (11.1)

rem: В некоторых диэлектриках и без внешнего поля уже есть диполи. О причинах (см. лк. №13 п.5).

Для количественной характеристики поляризации диэлектрика служит физическая величина, которая называется поляризованностью.


def: Поляризованностью диэлектрика называется электрический дипольный момент всех молекул в единице объема диэлектрика.
        (11.2)

Если диэлектрик однородный и смещение зарядов по всему объему одинаково, то поляризованность (устаревшее название - вектор поляризации) будет однородна.

Возьмем тонкую диэлектрическую пластинку и выделим в ней элементарный объем в виде наклонного цилиндра с образующей, параллельной полю (рис.11.5). Ясно, что объем этого цилиндра , где a - угол между направлением поля и нормалью. Поляризованность всего объема цилиндра . С другой стороны это есть не что иное, как дипольный момент системы зарядов на поверхностях , где - поверхностная плотность связанных зарядов. Так как и имеют одно направление, то, приравняв, получим

или      (11.6)

где - проекция вектора поляризованности на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. Для правой поверхности (см. рис.) >0 и s>0, для левой <0 и s<0. Нормальная составляющая поляризованности представляет количество электричества (заряд), смещаемого через единичную площадку в направлении нормали к ней.

3. Объемные заряды в диэлектриках.

Если вектор поляризованности различен в разных точках пространства, то есть поляризация неоднородная, то в диэлектрике могут появиться и объемные заряды. Рассмотрим внутри неоднородно поляризованного диэлектрика б/м объем dV (рис.11.6). Поляризованность в точке М(x,y,z) равна . Тогда положительный заряд на грани 1234 (выходящий из объема dV) равен (q=sS)

а заряд на грани 5678 (входящий в объем dV)

Разность этих зарядов

.

По смыслу - это заряд, который должен образоваться внутри объема, чтобы нейтрализовать действие внешнего поля.

Ясно, что аналогичная ситуация должна быть и на других гранях, то есть образующийся внутри объема dV заряд должен равняться

     (11.10)

С другой стороны, этот же заряд равен , где - объемная плотность связанных зарядов. Очевидно, что в скобках формулы (11.10) стоит оператор дивергенции. Тогда

      (11.13)

4. Электрическая индукция.

Связанные заряды отличаются от свободных только тем, что не могут существовать отдельно друг от друга. Они также являются источником поля и для них можно записать теорему Гаусса

Отсюда легко получить

      (11.15)

Величину, стоящую в скобках, принято называть индукцией электрического поля (по старому - электрическим смещением).

      (11.16)

Ясно, что поляризованность диэлектрика должна быть связана с напряженностью электрического поля в данной точке. Самое простое - предположить, что они пропорциональны друг другу (это выполняется, как показывает эксперимент, для очень большого класса веществ).

      (11.17)

где c - коэффициент пропорциональности, называемый диэлектрической восприимчивостью, а электрическую постоянную вводим для удобства записи. Тогда

Величина, стоящая в скобках, по смыслу совпадает с диэлектрической проницаемостью среды e (с ней мы уже встречались лк. №3 п.8). Очевидно, что

      (11.19)

Пусть два заряженных шарика взаимодействуют между собой в вакууме. Погрузим их в изолирующую (диэлектрическую) жидкость, например, в керосин (рис.11.7). Сила взаимодействия при этом заметно уменьшается. Керосин поляризуется, и у поверхности положительного шарика собираются отрицательные заряды молекулярных диполей керосина, а около отрицательного шарика - положительные заряды. Легко видеть, что поле при этом ослабевает, следовательно, уменьшается и сила взаимодействия между шариками.

Этим объясняется ряд известных опытов.

Парафиновый шарик б притягивается к заряженному металлическому шарику а в воздухе, но отталкивается от него в ацетоне (рис.11.8). Это объясняется тем, что диэлектрическая проницаемость ацетона e=20,74 больше, чем диэлектрическая проницаемость парафина e=1,90-2,20. По сути дела парафиновый шарик вместе со слоем окружающего диэлектрика имеет тот же по знаку заряд, что и металлический шар.

Еще один эксперимент - это опыт Пуччианти. В стакан с керосином  (e=2,10) помещается металлический заряженный шарик, вблизи которого из трубки выходят пузырьки воздуха ( e=1,00059), отталкиваясь от шарика. Вы теперь уже достаточно подготовлены, чтобы объяснить причину этого явления. Следите только, чтобы воздух выходил достаточно медленно, тогда пузырьки не будут электризоваться.

5. Теорема Гаусса в диэлектриках.

Из формул (11.15) и (11.16) следует теорема Гаусса для диэлектриков.


Lex: Поток индукции электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен свободному заряду, окруженному этой поверхностью.

В дифференциальной форме

      (11.20)

В интегральной форме

      (11.21)

rem: Все полученные ранее из теоремы Гаусса в вакууме соотношения сохраняют свою силу. В большинстве случаев достаточно формально заменить Е на Ee.

Например, напряженность однородно заряженного резинового (e=4,20) шара в керосине (e=2,10) выглядит следующим образом (рис.11.10).

6. Электрическая индукция и напряженность (лучше не читать).

До сих пор мы говорили об однородном изотропном диэлектрике. Если вещество анизотропно, то связь между индукцией и напряженностью усложняется. Они уже не обязательно должны быть сонаправлены друг с другом. Как известно, связь между двумя произвольными векторами осуществляется с помощью тензора второго ранга. Таким тензором и является диэлектрическая проницаемость.

     , где i,j=x,y,z

Если еще электрические поля достаточно сильные, например, в лазерах, то связь еще более усложняется

, где i,j=x,y,z    (11.24)

Поясним, что суммирование идет по повторяющимся индексам. Линейная зависимость нарушается и в некоторых веществах (см. лекцию №12).

7. Граничные условия.

Рассмотрим границу двух диэлектриков, на которые наложено внешнее поле . Под действием внешнего поля оба диэлектрика поляризуются и вблизи границы в каждом из них появятся поляризационные заряды (рис.11.11). Они создадут собственное поле

причем в обоих диэлектриках поле направлено в разные стороны. Если для определенности считать, что |s1|>|s2|, то поля направлены от поверхности. Так как электрическое поле заряженной поверхности перпендикулярно ей, то касательные составляющие результирующего поля равны друг другу

    (11.26)

Нормальные же составляющие терпят разрыв

Если кроме поляризационных зарядов на границе имеются еще и свободные заряды с поверхностной плотностью s, то

;   

или

     (11.30)

Формулы (11.26) и (11.30) называются граничными условиями для касательной составляющей напряженности и нормальной составляющей индукции электрического поля.

Если на поверхности есть свободный заряд, то электрическая индукция терпит разрыв. Если такого заряда нет, то индукция непрерывна.

8. Преломление линий электрической индукции.

Из рисунка 11.12 видно, что

    

тогда

Таким образом, на границе двух диэлектриков линии электрической индукции преломляются.

    (11.34)

В однородном изотропном диэлектрике индукция и напряженность сонаправлены, следовательно, линии напряженности преломляются аналогично. Однако картины линий индукции и линий напряженности будут все же различны. Линии индукции непрерывны, а линии напряженности частично прерываются на границе раздела. На рис.11.13а и 11.13б показано преломление электрического поля на бесконечной плоскопараллельной диэлектрической пластинке. Угадайте, где линии индукции, а где напряженности?

На рис.11.13в показаны линии индукции для пластинки конечных размеров. Когда линии индукции переходят из среды с меньшей проницаемостью в среду с большей проницаемостью, то вследствие преломления они оказываются ближе друг к другу. В этом смысле можно говорить, что в диэлектрике эти линии сгущаются.

На рис.11.14 изображено изменение однородного поля при внесении в него диэлектрического шара (или цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости чертежа).

    

Диэлектрическая проницаемость шара на рис.11.14а больше, а на рис.11.14б меньше диэлектрической проницаемости среды. В первом случае линии индукции концентрируются, а во втором случае становятся более редкими.

Для описания полого диэлектрика предоставим слово профессору А.А.Эйхенвальду.

"Если въ какомъ-нибудь полъ помъстить полый дiэлектрикъ, напръмеръ, въ видъ цилиндра, то вслъдствiе концентрацiи линiй силъ въ дiэлектрикъ внутри его полости поле будетъ ослаблено (рис.11.15). Это ослабленiе будетъ тъмъ значительнъе, чъмъ совершеннъе замкнута сама полость и чъмъ больше дiэлектрическая постоянная дiэлектрика. Если же будетъ помъщенъ полый проводникъ, то во внутренней полости совсъмъ не будет линiй силъ(рис.11.16)».

   

9. Измерение индукции и напряженности.

Физики всегда радуются, когда удается указать принципиальный способ измерения какой-либо величины. Вырежем внутри диэлектрика длинную узкую полость вдоль поля и поместим туда пробный заряд, равный 1 Кл. (рис.11.17). Влиянием поляризационных зарядов на торцах полости можно пренебречь, поэтому поле будет создаваться только зарядами у внешней поверхности диэлектрика, а это и есть напряженность внутри диэлектрика. Следовательно, напряженность численно равна силе, которую можно измерить механическими способами.

Теперь вырежем полость поперек поля (рис.11.18)

Поля наружных и внутренних поляризационных зарядов компенсируют друг друга, и останется только внешнее поле, а его индукция и есть индукция внутри диэлектрика в соответствии с (11.30). Следовательно, измеряем силу, умножаем на e0 и получаем индукцию внутри диэлектрика.

Конечно, эти способы представляют только теоретический интерес. Для однородного поля все гораздо проще. Измерив разность потенциалов между пластинами, и зная расстояние между ними, определяем напряженность E=Dj/d, опираясь на связь напряженности и потенциала (7.8). Построив на любой из пластин поверхность в форме консервной банки и применив теорему Гаусса (11.21), имеем D=q/S, то есть нужно определить заряд на пластинах и измерить их площадь.

10. Единица измерения индукции.

У этой величины нет собственного наименования единицы измерения. очевидно, что она измеряется в тех же единицах, что и поляризованность и поверхностная плотность заряда, то есть Кл/м2.

11. Некоторые дополнения.

Следует отметить, что название «электрическое смещение» подходит только к поляризационной составляющей вектора электрической индукции, связанной с присутствием вещества и его перестройкой (смещением зарядов) во внешнем поле. В вакууме эта часть исчезает, но тем не менее индукция и там не равна нулю.

При изучении переменных полей мы увидим, что именно эта величин определяет так называемый ток смещения.

В заключении нужно подчеркнуть, что индукция и напряженность представляют собой различные физические величины с различным физическим смыслом. Однако в некоторых случаях, например для описания электрического поля в вакууме достаточно только одного вектора напряженности электрического поля.