ЛЕКЦИЯ №12

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И СИЛЫ

Явление электризации часто
встречается в повседневной жизни,
когда два тела
взаимодействуют друг с другом.
(из ответа на экзамене)

1. Силы, действующие на заряженную поверхность.

Найдем силу, действующую на поверхность, разделяющую две среды, заряженную с поверхностной плотностью свободных зарядов sсвоб.

      (12.1)

где - напряженность поля на поверхности без учета собственного поля этих свободных зарядов, так как заряд не может действовать сам на себя (только барон Мюнхгаузен мог вытащить сам себя за волосы из болота). Поля по обе стороны от границы очевидно равны

, ,
следовательно,
.

Ранее (лк.№5 п.9) отмечалось, что поля заряженной плоскости по обе стороны равны по модулю и противоположны по направлению. Тогда

и сила равна

Из последней формулы и граничного условия (11.30) следует

       (12.7)

Пусть есть две очень большие равномерно заряженные пластины. Ранее отмечалось, что поле между ними однородно, а снаружи поля нет. Если эту систему рассмотреть как одну пластину в поле другой (рис.12.1а), то

Если же между ними диэлектрик (рис.12.1б), то можно поступить аналогично, а можно применить формулу (12.7), например, для левой пластины

то есть сила уменьшилась в e раз.

Заметим, что если между пластинами и средой есть хотя бы маленький зазор, то диэлектрик на них уже не действует и сила остается прежней (рис.12.1в).

В качестве примера рассчитаем силу, действующую на заземленную плоскость, вблизи которой есть точечный заряд (лк.№10 п.1 рис.10.1-10.3 и рис.12.2). Поля в первой среде нет, а во второй оно перпендикулярно плоскости. Пусть среда вокруг проводника - вакуум, а напряженность знаем (10.1). Тогда

Последний интеграл достаточно простой. После вычислений получаем

    (12.12)

Сравните это результат с силой, действующей на заряд со стороны стенки (10.4) и убедитесь в справедливости третьего закона Ньютона.

Легко понять, что если в электростатическое поле поместить объемный проводник, то на его поверхность будет действовать сила

     (12.13)

где - поле снаружи на поверхности проводника (внутри поля нет), e - диэлектрическая проницаемость среды вокруг проводника, - внешняя нормаль. Сила стремится разорвать проводник.

2. Поляризованный шар.

Поляризованный шар можно представить себе как два разноименных однородно заряженных (не диэлектрических!) шара, центры которых смещены на небольшое расстояние l.

Поле шара внутри шара мы знаем (5.14). Тогда в произвольной точке внутри шара

В числителе очевидно стоит дипольный момент всего шара , где - поляризованность, а V - объем шара. Получаем

     (12.16)

то есть собственное поле внутри шара однородно. Снаружи ситуация еще проще. Так как поле шара вне шара совпадает с полем точечного заряда, то получается поле диполя

    (12.17)

нужно только, чтобы R>>l. Поле (линии напряженности) поляризованного шара показано на рис.12.4.

В верхней точке шара внешнее поле направлено вверх и равно

Оно в 2 раза больше внутреннего поля, направленного вниз.

3. Поляризованный шар в однородном поле.

Пусть в однородное поле с напряженностью поместили диэлектрический шар. Тогда его поляризованность в соответствии с (11.17)

,
где - результирующее поле внутри диэлектрика, которое в свою очередь равно (см. формулу (12.16)).

Отсюда сразу же получаем напряженность

,

а также поляризованность

и дипольный момент всего шара

    (12.23)

Линии напряженности внутреннего и внешнего поля показаны на рис.12.5.

Для вычисления поля снаружи нужно сложить внешнее поле и поле диполя (12.17). Так для верхней точки шара имеем

тогда отношение результирующих полей внутри и снаружи

что совпадает с граничными условиями (11.30).

rem: В ряде случаев можно считать, что для проводника диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности. Это и понятно, так как на любой заряд внутри проводника не действует сила.

Если изучать рассмотренные выше формулы с этой точки зрения, то можно лишний раз убедиться, что внутри проводника поле равно нулю.

4. Диэлектрический шар в неоднородном поле.

Пусть имеется маленький диэлектрический шар в исходно неоднородном поле . Неоднородность его такова, что вблизи шара поле можно считать однородным. Тогда в соответствии с (8.19) и (12.23)

Используя формулу векторного анализа (8.20) имеем

   (12.27)

То есть сила направлена в сторону возрастания поля. Если шар проводящий, то

   (12.28)

Этими формулами объясняется явление, с которого обычно начинают изучение электричества: мелкие незаряженные предметы притягиваются к заряженному телу.

Если исходное поле было создано точечным зарядом, напряженность которого хорошо известна (4.10), то

   (12.29)

то есть шарик притягивается к заряду с силой обратно пропорциональной пятой степени расстояния.

5. Точечный заряд и проводящая сфера.

Еще раз вернемся к задаче о взаимодействии точечного заряда и нейтральной сферы. Если вы внимательно прочитали лк. №10 п.2, то без труда можете рассчитать силу, с которой сфера действует на заряд

или ,

где . Если |m|<<1, то есть точечный заряд достаточно далеко от шара, то

что в точности совпадает с (12.29).

Попробуем вычислить силу, действующую на эту сферу, воспользовавшись (12.13). Для этого сначала найдем напряженность поля в каждой точке сферы. Исходя из рис.12.6, получаем

или
,

где 0<|m|<1.

Вспоминая связь между напряженностью и поверхностной плотностью заряда (9.9),

можно построить график зависимости поверхностной плотности заряда от угла (рис.12.7). Видно, что сфера заряжена неравномерно. Напротив точечного заряда поверхностная плотность противоположна по знаку и максимальна по модулю. Интегрированием по поверхности сферы можно убедиться, что суммарный заряд на ней равен 0, как и предполагалось.

Используя (12.13) можно убедиться, что сила получается той же самой. Если представить эту сферу собранной из 2 половинок, то можно рассчитать силу, действующую на каждую половинку, и тем самым определить, какие силы стремятся растянуть эту сферу.

6. Точечный заряд и плоский диэлектрик.

Для решения этой задачи предоставим слово Д.В. Сивухину (§24). Пусть два однородных изотропных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями e1 и e2 граничат друг с другом вдоль плоскости. В первом диэлектрике есть точечный заряд q. Поле в обеих областях складывается из поля этого заряда и поляризационных зарядов на границе раздела. Введем предположение, что поле поляризационных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то заряда q1 зеркально расположенного относительно границы раздела (рис.12.8).

Тогда для поля в первом диэлектрике можно написать

Введем еще одно предположение, что поле во втором диэлектрике образовано еще одним фиктивным зарядом q2, расположенным там же где и исходный заряд.

Справедливость предположений будет доказана дальнейшими вычислениями.

Теперь на границе поля надо «сшить».

и

Из последних уравнений и находим необходимые заряды.

Окончательно получаем следующие выражения для полей.

и

Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи и, по теореме единственности других решений быть не может. Если считать диэлектрическую проницаемость второй среды очень большой (проводник), то получаем поле точечного заряда около проводящей плоскости (см. лк. №10 п.1).

Легко рассчитать силу, действующую на заряд со стороны диэлектрика, как силу между зарядами q и q1

    (12.43)

Заряд может, как притягиваться, так и отталкиваться. Все зависит от того, в какой среде проницаемость больше. Это более общее выражение, чем (10.4)

7. Объемные силы в диэлектрике.

Рассмотрим теперь силы, которые возникают даже в отсутствии свободных зарядов. В «толстых» книжках (Сивухин §34 или Матвеев А.Н. «Электродинамика», §24) доказывается формула для силы, действующей на бесконечно малый объем диэлектрика

    (12.46)

где rm - массовая плотность вещества, а П - гидростатическое давление.

Данная сила получила название пондеромоторной.


def:Пондеромоторными называют силы, действующие на весомые тела.

Этот термин был введен тогда, когда признавалось существование невесомых субстанций (эфир, теплород и т.д.).

Первое слагаемое - сила, действующая на свободные заряды. Мы о ней говорили уже достаточно подробно в п.1. Происхождение четвертого слагаемого тоже достаточно очевидно. Второй член был введен Максвеллом, а третий Гельмгольцем.

Рассмотрим в качестве примера силы, действующие на диэлектрический шар в однородном поле (рис.12.9).

Из второго слагаемого очевидно, что пондеромоторная сила направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Для непосредственного применения формулы (12.46) необходимо допустить, что переход от внешней относительно шара области с диэлектрической проницаемостью e2 к внутренней с диэлектрической проницаемостью e1 происходит не скачком на поверхности шара, а непрерывно в некотором сферическом слое. В этом случае напряженность изменяется непрерывно от ее значения вне шара до значения внутри шара. В каждой точке шарового слоя для вычисления силы можно использовать формулу (12.46).

В случае e1>e2 поле внутри шара меньше, чем вне шара. Поэтому сила стремится разорвать шар, однако полная равнодействующая всех сил равна нулю и шар, как целое, остается в покое.

При e1<e2 силы в переходном сферическом слое направлены внутрь шара и их равнодействующие по разные стороны шара стремятся сжать его по линии внешнего поля. Полная сила, действующая на шар, как и в предыдущем случае, равна нулю.

Если же внешнее поле неоднородно, то полная сила, действующая на шар, не равна нулю (рис.12.10). С помощью аналогичных рассуждений заключаем, что при e1>e2 полная действующая на шар сила направлена в сторону возрастания поля в среде.

Если же e1<e2, то действующая на диэлектрический шар сила направлена противоположно, то есть в сторону уменьшения поля в среде. Поэтому в среде с достаточно большой диэлектрической проницаемостью, например в керосине, диэлектрические предметы отталкиваются от наэлектризованных тел.

Пусть диэлектрическая восприимчивость линейно зависит от массовой плотности c=krm, а e=1+c. Третье слагаемое в формуле (12.46) можно переписать как

   (12.47)

Очевидно, что . Тогда второе слагаемое из (12.46) и первое из (12.47) сокращаются и остается (без первого и четвертого слагаемых)

    (12.49)

Из этой формулы видно, что направление силы, действующей на диэлектрик, не зависит от направления поля, она всегда направлена в сторону максимального возрастания напряженности электрического поля. Это означает, что диэлектрик увлекается в область наибольшей напряженности электростатического поля.

Происхождение силы (12.49) можно пояснить по-другому. Согласно (8.19), (8.20) и (11.17)

В частности на пластину диэлектрика на рис.12.1в в целом сила не действует. Но на каждую сторону действует растягивающая сила.

По тем же причинам диэлектрик может втягиваться между заряженными пластинами (рис.12.11). Сверху поле больше, чем в самом диэлектрике. Такую задачу решить с точки зрения сил очень сложно. Мы вернемся к ней при изучении энергетических соотношений (см. лк.№16 п.11).

Дополнительные силы, возникающие в результате зависимости диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика, называются электрострикционными силами, а вызываемое ими изменение гидростатического давления и плотности диэлектрика - электрострикцией.