ЛЕКЦИЯ №10

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ (продолжение)

...Не став пред вопросом в тупик,
Ответил я так собеседнице милой:
Владеет любовь электрической силой,
а золото - проводник!
(Р.Бернс. Золотое кольцо)

1. Метод зеркальных изображений.

В электростатике существует ряд искусственных методов, позволяющих без громоздких вычислений найти распределение полей. К ним, например, относится метод функций комплексного переменного, с которым вы познакомитесь при изучении классической электродинамики.

Здесь мы рассмотрим метод зеркальных изображений, который может помочь при решении симметричных задач. Суть метода в следующем:

def: Если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем соответствующий потенциал, то электрическое поле не изменится.
Естественно, что справедливо и обратное положение.

Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется бесконечная проводящая заземленная плоскость, которой припишем нулевой потенциал, и около нее на расстоянии h заряд Q. Требуется найти что-нибудь электрическое, например, поверхностную плотность заряда на плоскости. Распределение поля показано на рис.10.1.

Сечение этой картины любой плоскостью перпендикулярной исходной показано на рис.10.2. Вам это ничего не напоминает? Конечно! Это часть поля, созданного двумя разноименными зарядами (сравните с рис.4.6а).




Ясно, что заменить существующее поле в исследуемой области можно полем двух точечных зарядов разного знака (отразить имеющийся заряд в плоскости, как в зеркале). Тогда (рис.10.3)

C другой стороны поле плоскости равно Ez=s/e0 (см. формулу 5.11) Приравняв, получим

    (10.2)

Полный заряд на плоскости равняется

Откуда взялся этот заряд? Не зря же плоскость заземленная!

Без интегрирования по поверхности, легко рассчитать силу взаимодействия между зарядом и плоскостью.

   (10.4)

По сути дела метод изображений основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас области пространства была бы той же. По теореме единственности других решений быть не может.

2. Заряд и сфера.

Еще один пример применения этого метода - это задача о взаимодействии точечного заряда и сферы. Решать ее мы будем наоборот.

Вернемся к задаче о линии нулевого потенциала поля двух разноименных неодинаковых по модулю точечных зарядов (см. лк.7 п.11). Решим ее в другой системе координат (рис.10.4). Линия нулевого потенциала найдется из соотношения

.

Разрешая последнее уравнение, имеем

   (10.6)

С осью ОХ (y=0) эта кривая пересекается в точках

.

График этой линии показан на рис.10.5. Правда, похоже на окружность со смещенным центром? Чтобы убедиться в этом, напишем уравнение этой окружности

(10.8)    

сравнивая, (10.6) и (10.8) получаем систему уравнений

и    (10.9)

Из этой системы и находятся параметры этой окружности

- ее центр, и - ее радиус.

Кстати, если обратить внимание на масштаб рис.7.17, то можно убедиться, что и там тоже окружность.

Теперь считаем, что заданы радиус окружности и положение ее центра, а найти нужно a и m. Из системы (10.9) получаем

,      (10.13)

и расстояние между центром сферы и вторым зарядом

А теперь попробуем понять, что же мы нашли. Если нужно выяснить, что-либо про электрическое взаимодействие точечного заряда q1 и сферы нулевого потенциала (заземленной) радиуса R, центр которой находится от точечного заряда на расстоянии х0, то эту сферу нужно заменить точечным зарядом

,

который находится от первого на расстоянии а, рассчитанном по формуле (10.13).

А что делать, если потенциал сферы не равен нулю? В центр сферы всегда можно добавить заряд q3. По принципу суперпозиции, сфера всегда останется эквипотенциальной, а изменится только величина потенциала.

Пусть нужно найти силу взаимодействия между точечным зарядом и разряженной нейтральной сферой. Суммарный заряд сферы должен остаться равным нулю, следовательно, в центр сферы нужно поместить заряд q3=-q2, и найти силу, действующую на первый заряд со стороны второго и третьего.

Ричард Фейнман утверждает, что таким методом достаточно легко решается задача о взаимодействии двух разноименно заряженных сфер. Попробуйте! (Фейнмановские лекции по физике, т.5, стр.127).

3. Электрическое поле Земли.

Ранее (лк.2 п.6) мы сказали, что Земля имеет достаточно большой отрицательный заряд. А откуда это известно?

Для определения электрического поля Земли и ее заряда используют следующий эксперимент: Две большие пластины площадью S соединены через гальванометр и, следовательно, имеют одинаковый потенциал (рис.10.6). Внутри поля нет, так как, если поле Земли существует, то оно скомпенсировано собственным полем пластин. Поверхностная плотность заряда пластин равна s=Ee0. Если повернуть пластины на 90 градусов, то через гальванометр пройдет заряд Q=sS. Измерив заряд, можно вычислить напряженность. В результате экспериментов оказалось, что поверхностная плотность заряда на пластинах ~1,15.10-19 Кл/м2, и следовательно, напряженность равна ~130 В/м и направлена к Земле. Принимая Землю за проводящий шар известного радиуса (~6370 км), можно оценить ее заряд, который получается равным -586 кКл. А потенциал на поверхности Земли 832 МВ. Ничего себе! Напомним только, что это потенциал относительно бесконечности. Кроме того, расчет очень грубый, так как кроме самой Земли ничего не учитывает, а ведь есть еще положительно заряженная атмосфера.

Реальная разность потенциалов между Землей и верхними слоями атмосферы ~400000 В. На высоте 1 км напряженность уже ~40 В/м. Дальше она спадает очень быстро. Поэтому не будем забираться очень далеко, и посмотрим, что происходит вблизи поверхности Земли.

Кроме того, напомним, что физический смысл имеет не сам потенциал, а его разность. Понятно, что общий для всех потенциал лучше выбрать на поверхности Земли, и очень удобно приписать ему нулевое значение.

При указанной напряженности, казалось бы, разность потенциалов между головой человека среднего роста (170 см) и его подошвами составляет ~220 В.

На самом деле, человек является довольно хорошим проводником с сопротивлением ~1 кОм, и является эквипотенциальным объемом. С Земли на человека переходит часть заряда. Поле вокруг человека искажается примерно так, как показано на рис.10.7б и потенциал человека по-прежнему 0 В.

Если же человек находится на изолирующей подставке, и ему каким-то образом сообщить заряд (снять или надеть синтетическую одежду), то получится примерно то, что показано на рис.10.8. Если человек в таком состоянии коснется батареи отопления или стержня, воткнутого в Землю, то испытает на себе все прелести перераспределения зарядов между двумя телами.

Надеемся, мы достаточно подробно рассказали про заземление приборов и его необходимость.

4. Основная задача электростатики.

Она формулируется следующим образом: известна диэлектрическая проницаемость среды e, заданы расположение и форма проводников; знаем либо потенциалы всех проводников, либо заряды всех проводников, либо заряды одних и потенциалы других. Требуется определить поле, потенциалы, распределение зарядов. Задача сводится к решению уравнения Пуассона с заданными граничными условиями. Ясно, что решение есть, так как мы сами можем взять эти проводники и расположить их так, как нам хочется. Можно доказать, что это решение единственное (теорема единственности). Существует и обратная задача, причем “обратная задача нахождения формы проводников при заданном выражении потенциала решается более просто, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников” (J.C.Maxwell. Treatise an Electricity and Magnetism. Oxford University, press 1891,v.1,ch.VII). Это и понятно, так как дифференцировать всегда легче, чем интегрировать.

В качестве примера решим прямую задачу для двух бесконечно длинных цилиндрических поверхностей с радиусами R1 и R2 (R1<R2). Зададим потенциалы на этих поверхностях: j(r=R1)=j1 и j(r=R2)=j2. Задача аксиально (цилиндрически) симметрична, поэтому от оператора Лапласа остается только радиальный член. Решаем уравнение Пуассона для области между цилиндрическими поверхностями r=0.

,
j=const1ln(r)+const2.

Постоянные определяются из граничных условий. В итоге получаем

   (10.16)

График представлен на рис.10.9.