электричество и магнетизм

Вся литература
Сивухин	§5-9;
Савельев	§11-14;
Гершензон	§1.3,1.4;
Трофимова	§81-82;
БКФ	§1.9-1.13;
Калашников	§13, 14;
Тамм	§2,3

ЛЕКЦИЯ №5

ТЕОРЕМА ГАУССА

1. Общие замечания.

В лекции №4 п.1 была установлена связь между электростатическим полем и его источниками (зарядами) в виде определения напряженности (4.4). Однако эта связь может быть записана гораздо более простым и изящным способом, для изложения которого нам придётся вначале ознакомиться с рядом математических понятий.

2. Определение и общие замечания о структуре векторного поля(математическое отступление).

Пусть в некоторой области пространства определено какое-либо векторное поле. Это означает, что в каждой точке данной области пространства задан вектор поля, который будем обозначать

Структуру векторного поля составляют векторные, или как их называют в физике, силовые линии - кривые в пространстве, касательная в каждой точке которых совпадает по направлению с определенным в этой точке пространства вектором поля

(рис.5.1). Следует отметить, что в отличие от скалярных полей (например, поля температур) структура векторных полей гораздо более сложная. Это связано с характером поведения векторных линий в различных точках пространства. Так, могут существовать точки пространства, в которых векторные линии могут начинаться или заканчиваться. Если какая либо точка пространства является началом векторных линий, то говорят, что в этой точке пространства находится источник векторного поля. Точка же пространства, в которой заканчиваются векторные линии, называется стоком. Очевидно, что для электрического поля источниками и стоками являются, соответственно, положительные и отрицательные заряды. При этом, чем больше векторных линий начинается в данной точке пространства, тем мощнее, обильнее находящийся в этой точке пространства источник. Для количественной (математической) характеристики источников векторного поля в математической теории поля вводят некоторую скалярную функцию, называемую дивергенцией (от латинского слова divergentia - расхождение, расходимость).

Заметим, что вся терминология пришла из гидродинамики, поэтому для наглядности можно представлять себе поле скоростей при течении жидкости, например, в ванне. Тогда источник - это водопроводный кран или душ, а сток - дырка в ванне.

3. Понятие потока и дивергенции(математическое отступление).

Пусть в области пространства, в которой определено векторное поле

находится поверхность S.

Как видно из этого определения интегрируется, фактически, нормальная составляющая вектора

(рис 5.1). В связи с этим используется еще следующее обозначение потока:

, а также

, где

Если поверхность S является замкнутой, то поток вектора

через такую поверхность обозначается

где

- внешняя по отношению к ограниченному поверхностью S объему пространства нормаль (рис.5.2). На этом же рисунке показано как мы приходим к выражению (5.2) - путём разбиения поверхности интегрирования S на малые элементы и образования интегральной суммы, предел которой и дает (5.2). Отметим, что один бесконечно-малый элемент показан и на рис 5.1.

Теперь дадим определение дивергенции векторного поля. Окружим точку пространства М, где имеется источник векторного поля, произвольной замкнутой поверхностью S.

Как видно из определения, дивергенция представляет собой плотность потока векторного поля.

Ясно, что если в точке М находится источник поля, то

, (т.к. поток

поскольку

), если же

, то в точке М находится сток векторного поля (т.к. поток

поскольку

). Кроме этого как видно из (5.3), чем больше поток вектора

(числитель в (5.3)), тем больше

, тем, соответственно, больше векторных линий начинается в данной точке пространства, и следовательно, тем мощнее, обильнее источник. Отметим, между прочим, что использовать в качестве характеристики мощности источников поля просто поток векторного поля было бы нельзя, поскольку он при стягивании поверхности интегрирования S к точке М стремится к нулю. Стягивание же поверхности S к точке М необходимо, поскольку источники поля могут быть очень близко расположены друг к другу, и мы обязаны разделить их, определяя мощность каждого источника. (Например, заряды в молекулах расположены на расстояниях порядка нескольких ангстрем друг от друга, а в атомах и того меньше) При вычислении же предела отношения в (5.3), мы получаем некоторое конечное выражение. То есть, дивергенция векторного поля является локальным понятием - функцией точки пространства.

Продолжая аналогии с гидродинамикой, можно говорить, что поток векторного поля скоростей

текущей жидкости через поверхность S - это количество жидкости (объем), протекающее через эту поверхность в единицу времени, а дивергенция - количество жидкости, появляющейся или исчезающей в данной точке пространства в единицу времени, отнесенное к единице объема (плотность потока жидкости).

4. Дивергенция в различных системах координат (математическое отступление).

Исходя из определения дивергенции (5.3) в математической теории поля получают следующие формулы, позволяющие вычислять дивергенцию в различных системах координат:

5. Формула_Остроградского - Гаусса (математическое отступление).

В математическом анализе доказывается следующее соотношение, называемое теоремой Остроградского - Гаусса:

связывающее поток вектора

через произвольную замкнутую поверхность S с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному данной поверхностью.

6. теорема Гаусса в физике.

В электродинамике данная теорема называется просто теоремой Гаусса и формулируется следующим образом:

Не доказывая данной теоремы, покажем, как можно прийти к её формулировке. Пусть имеется сферическая замкнутая поверхность произвольного радиуса, а в центре точечный заряд q (рис.5.3а). Задача симметрична. Очевидно, что

Т.о., получили, что поток не зависит от радиуса сферы. Теперь эту сферу окружим произвольной поверхностью (рис.5.3б). Понятно, что поток чего-то, обратно пропорционального квадрату расстояния, через замкнутую поверхность не зависит от формы и размера поверхности.

Легко получить дифференциальную форму данной теоремы для величин, относящихся к точке пространства.

где r - объёмная плотность заряда, то, используя теорему Гаусса, можно записать

Левые части формул равны, следовательно, равны и правые, а значит и подынтегральные функции:

7. Использование теоремы Гаусса для расчёта электростатических полей (общие соображения).

Теорема Гаусса связывает напряженность электрического поля с зарядами, это поля создающими. Она, в принципе, позволяет, зная напряженность, найти распределение зарядов. Однако, чаще в электродинамике ставится задача определения напряженности поля, создаваемого известным распределением зарядов в пространстве. При такой формулировке теорема Гаусса является интегральным уравнением - неизвестная функция находится в подынтегральном выражении. Данный факт очень ограничивает возможность использования теоремы Гаусса для практического расчета электростатических полей. Дело в том, что такой расчет оказывается возможным лишь для очень симметричных в пространстве распределений зарядов, когда исходя из этой симметрии, заранее известны поверхности, на которых напряженность является постоянной величиной. При этом имеем из (5.5) следующую цепочку равенств:

Очевидно, что такие поверхности есть у любой статической системы зарядов, но заранее они известны далеко не всегда. Например, в случае заряженного диска, или просто заряженной нити, свитой в кольцо, эти поверхности очень сложны и сами требуют весьма непростого расчета. Следовательно, рассчитать поля, создаваемые указанными заряженными телами с помощью теоремы Гаусса нельзя.

Необходимо, однако, сделать следующее замечание о том, что с помощью теоремы Гаусса можно рассчитывать еще поля, создаваемые заряженными телами, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких симметрично заряженных тел. Находя отдельно поля, создаваемые каждым из таких тел, мы, используя принцип суперпозиции электрических полей, находим результирующее поле, создаваемое исходным телом.

8. Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

В качестве первого примера применения теоремы Гаусса для расчета электростатических полей рассмотрим подробно решение задачи о напряженности электростатического поля, созданного равномерно заряженным по объему бесконечно-длинным цилиндром радиуса R. На единицу длины цилиндра приходится заряд t (см. формулу (2.8)).

а) Поскольку геометрия тела обладает цилиндрической симметрией, задачу удобно решать в цилиндрической системе координат (r,j,z). Однако, чтобы не возникало путаницы с обозначениями, первую цилиндрическую координату обозначим r, чтобы отличать ее от объемной плотности заряда r.

б) В силу симметрии распределения заряда по объему цилиндра, а также его бесконечной длины можно сделать вывод о том, что в любой точке пространства напряженность электрического поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от расстояния до этой оси:

в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой поверхности данного цилиндра E_r(r)=const (при r=const), а поток вектора

через верхнее и нижнее донышки цилиндра равен 0. Последнее же связано с тем, что в каждой точке этих донышек

и, следовательно,

). В соответствии с (5.7) и (5.8) имеем:

что представляет собой частный случай формулы (5.8).

Здесь Q - заряд, попавший внутрь поверхности интегрирования.

г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра.

При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q=th. Следовательно

д) Таким образом, напряженность поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:

Рассмотрим теперь пример расчёта полей, создаваемых заряженными телами, обладающими декартовой и сферической симметрией, соответственно.

9. Напряженность бесконечной заряженной плоскости.

Будем считать, что плоскость имеет две поверхности с поверхностной плотностью заряда s >0 на каждой. Из симметрии задачи ясно, что

. Построим цилиндрическую поверхность произвольной высоты с произвольным основанием S (можно обычный цилиндр - рис.5.6). Очевидно, что поток через боковую поверхность этого цилиндра равен 0. Поток наружу через основания равен 2SE. Заряд внутри выделенной поверхности Q=2Ss. Получается однородное поле E=s/e₀.

Если еще учесть знаки, то тогда проекция напряженности на ось ОХ будет равна

Очевидно, что скачок напряженности на заряженной поверхности равен 2s/e₀. Запомним пока этот факт.

10. Напряженность двух бесконечных заряженных плоскостей.

В этом случае заряд распределен только по внутренним сторонам поверхностей (из-за взаимовлияния) с плотностью s'=2s. Поле внутри

11. Напряженность равномерно заряженной сферы.

Пусть по поверхности сферы равномерно распределен электрический заряд q (рис.5.9). Задача центрально-симметричная

12. Напряженность равномерно заряженного шара.

Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12). Задача снова центрально симметричная, т.е.

(E_r,0,0). Вне шара все аналогично сфере. Применение интегральной формы теоремы Гаусса для внешней области вполне стандартно. Покажем, что этот же результат может быть получен и с помощью дифференциальной формы этой же теоремы (5.6). В нашем случае это уравнение с учетом выражения для дивергенции в сферической системе координат имеет вид

Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0. В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.

13. Теорема Ирншоу(1839 г.).

Утверждение о неустойчивости статической системы зарядов называется теоремой Ирншоу.

Действительно, пусть имеется заряд, для определенности положительный. Окружим его произвольной замкнутой поверхностью. Чтобы он находился в устойчивом равновесии, необходимо, чтобы поле, образованное всеми остальными зарядами, было направлено к той точке, в которой он первоначально находился. Тогда при отклонении его от положения равновесия, на него будет действовать возвращающая сила. Но в этом случае поток напряженности через эту замкнутую поверхность должен быть отрицательным, т.к. напряженность противоположно направлена внешней нормали. Однако, по теореме Гаусса, поток поля, созданного зарядами вне поверхности, должен быть равен 0. Иначе говоря, нет “пустой” области, где все поле направлено внутрь или наружу. С энергетической точки зрения неустойчивость связана с отсутствием минимума потенциальной энергии.

Если заряды не могут иметь неустойчивого равновесия, то нельзя представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов). Первая модель атома Томсона представляла собой «положительный пудинг с отрицательными изюминками», то есть неустойчивая система.

Резерфорд показал, что в атоме есть маленькое положительное ядро, но такая система тоже неустойчива.

Резерфорд и Бор предложили движение электронов по орбитам. Но так как они в этом случае движутся с центростремительным ускорением, то должны излучать, терять энергию и упасть на ядро. Опять неустойчивость!

Сейчас стабильность атома объясняют с помощью квантовой механики. Электрон «размазан» в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. И такая система устойчива!

Выходит, что вновь вернулись к идее Томсона, только теперь есть «отрицательный» шар, а внутри «положительная косточка» - ядро. Неисповедимы пути науки!

В декартовой (x,y,z)
в цилиндрической (r,j,z)
в сферической (r,q,j)