ЛЕКЦИЯ №4

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

"Поле" сдашь -
студентом будешь.
(народная примета)

1. Понятие напряженности.

В опыте Милликена (см.лк.№2 п.12) мы встретились с величиной , с которой также знакомы по школьному курсу физики. Настала пора уточнить, что это такое.

Пусть в пространстве имеется некоторое расположение зарядов (рис.4.1). Нас интересует, как они будут действовать на пробный заряд q0. По принципу суперпозиции

    (4.1)

Поделим на величину пробного заряда.

    (4.2)

Выражение справа зависит только от исходного расположения зарядов и от положения рассматриваемой точки.

def:Физическая величина, являющаяся отношением силы, действующей со стороны электрического поля на пробный заряд, к величине этого заряда, называется напряженностью электрического поля.
    (4.3)

Здесь нам необходима определенная осторожность. Если мы введем пробный заряд, то исходные заряды могут прийти в движение, и изменить напряженность. Предел q®0 также не очень хорош, так как существует минимальный заряд |e|. Поэтому лучше исходить из следующего положения:

def:Напряженность - это векторная функция зарядов-источников электрического поля, которая определяется следующим образом
    (4.4)

В этом случае трудности снимаются, и нет необходимости упоминать о пробном заряде и о неподвижности.

2. Единица измерения напряженности.

Из определения напряженности очевидно, что

Однако в SI чаще используют другую единицу (будет разъяснено в лекции №7 п.3).


def:1 В/м - единица SI напряженности электрического поля, равная напряженности однородного электрического поля, при которой между точками, находящимися на расстоянии 1 м вдоль линии напряженности поля, создается разность потенциалов 1 Вольт.

3. Принцип суперпозиции.

Из определения (4.4) ясно, что в вакууме напряженность, как и сила, подчиняется принципу суперпозиции.


def:Напряженность поля в точке пространства равна сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными точечными зарядами.
    (4.5)

4. Напряженность поля заряженного тела.

Ясно, что для определения напряженности, создаваемой реальными заряженными телами необходимо мысленно разбить их на столь малые заряды, чтобы их можно было считать точечными, а потом грамотно сложить (проинтегрировать).

Пусть заряд распределен по некоторому телу объема V'. Тогда напряженность поля в точке М равна

   (4.6)

где интегрирование выполняется по объему заряженного тела. Если плотность заряда , то

    (4.7)

5. Напряженность поля точечного заряда.

Используя предыдущую формулу и плотность точечного заряда ( лк.№2,п.10), имеем (рис.4.3)

    (4.8)

Если начало системы отсчета выбрать там, где находится точечный заряд, т.е. (см. рис.4.3), то

   (4.9)

или в скалярной форме

   (4.10)

Зависимость E(r) достаточно проста и представлена на рис.4.4. Расходимость в нуле не должна пугать, так как точечный заряд - это идеализация. В природе не существует зарядов в нулевом объеме, а любое распределение зарядов конечных размеров, как мы увидим ниже, не имеет особенностей.

6. Понятие электрического поля.

Теперь несколько замечаний об электрическом поле. На вопрос о том, что такое электрическое поле, реально ли оно или это некий числовой коэффициент, ответить очень трудно. “Есть вещи, которые вы спокойно можете объяснить два раза, не рискуя, что кто-нибудь поймет, о чем вы говорите”, - считала Сова в сказке о Винни-Пухе. К понятию поля мы будем возвращаться неоднократно. Пока речь идет об электростатическом поле. А ведь есть еще магнитное и электрическое вихревое, и даже электромагнитное.

Понятие “электрическое поле” имеет смысл. Оно сообщает пространству локальное свойство, а именно: если нам известно значение поля, то мы знаем без дальнейших рассуждений, что случится с любыми зарядами в этой точке, и для этого нам совсем не нужно знать, как это поле было создано. Напряженность - это количественная характеристика поля.

7. Графическое представление поля.

Чтобы наглядно представить себе поле, мы можем с каждой точкой пространства связать вектор напряженности, длину которого рисовать в соответствии с числовым значением (рис.4.5а и рис.4.5.б)

Другой способ - это изображение линий напряженности или силовых линий, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением поля в этой точке. Эти линии являются гладкими и непрерывными, за исключением таких особенностей, как заряд. Густота линий выбирается таким образом, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярной к линиям площадки было пропорционально Е. Тогда по картине линий напряженности, можно судить о направлении и величине Е. Эти линии начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах (или на бесконечности) и нигде не пересекаются. На рис.4.6 представлены линии напряженности для разноименных (слева) и одноименных (справа) зарядов.

рис.4.6

Если эту картину привести во вращение вокруг оси, соединяющей заряды, то получим объемную картину распределения поля.

Для зарядов разной величины картина может выглядеть весьма причудливым образом (рис.4.7).

Линии напряженности можно воспроизвести и в эксперименте. С этой целью в сосуд с плоским дном наливают какую-нибудь изолирующую жидкость, (вазелин, касторовое масло) в которой, по возможности равномерно, распределены кристаллики хинина, манная крупа или вообще какие-нибудь небольшие тельца удлиненной формы. Погрузив в такую жидкость два электрода, можно увидеть, как эти частицы, наэлектризовавшись и притянувшись друг к другу, образуют собою кривые линии (рис.4.8) как раз той же самой формы, которая была рассчитана теоретическим путем. Мелкие частицы в поле выстраиваются вдоль силовых линий. (Почему? Ведь поле есть в любой точке ?!)

8. О поле для особо любопытных (можно не читать).


def:Физическое поле - особая форма материи, физическая система с бесконечно большим числом степеней свободы, которая осуществляет взаимодействие между частицами, но может существовать и без частиц.

Описание его производится с помощью нескольких непрерывных функций, зависящих от положения в пространстве-времени. Электромагнитное поле описывается с помощью скалярного и векторного потенциалов, производные от которых дают электрическую и магнитную напряженности. Можно составить выражение для действия и с помощью принципа наименьшего действия получить дифференциальные уравнения, определяющие поля. Значения функций в точках можно считать обобщенными координатами, отсюда бесконечность степеней свободы. Если еще вспомнить, что поле имеет частицы-переносчики взаимодействий, то следует переходить к квантово-операторной теории поля.

Если вы ничего не поняли - не расстраивайтесь. Читайте дальше.

9. Напряжённость поля равномерно заряженной полусферы.

В качестве примера вычислим напряжённость поля в центре полусферы радиуса R, если по поверхности этой сферы равномерно распределён заряд q. Будем исходить из формулы (4.6). Учитывая, что заданное распределение заряда обладает сферической симметрией, вычисление удобно провести в сферической системе координат, выбрав её начало в центре сферы. При этом поверхностная плотность заряда, а элемент площади поверхности сферы, и, следовательно, формула (4.6) записывается в данном случае в виде:

    (4.11)

Разложим по ортам декартовой системы координат, чтобы показать явную зависимость его от j и q, , и подставим в (4.11):

   (4.12)

Учитывая, что уже не зависят от j и q, можно провести вычисление интеграла в (4.12), представляя его в виде суммы трёх интегралов. При этом, как легко видеть, при выполнении сначала интегрирования по j, интегралы от первого и второго слагаемых обращаются в ноль, и остаётся только интеграл от третьего слагаемого, который легко вычисляется: