Математическое ожидание случайной величины

Чтобы подойти естественным путем к понятию математического ожидания, будем рассуждать следующим образом. Пусть X -дискретная случайная величина. Придерживаясь неформальной точки зрения, будем считать, что величина X связана с некоторым опытом. Предположим, что опыт осуществлен n раз и при этом величина X:

n₁ раз принимала значение a₁,

n₂ раз принимала значение a₂

и т. д. Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых величиной х в данной серии опытов. Оно запишется:

Дробь есть частота, с которой появлялось значение a_k.

Согласно статистическому определению ® p_k по вероятности при n® ¥, где p_k - вероятность появления значения a_k.

Следовательно, ® a₁p₁+a₂p₂+... по вероятности при n® ¥.

Это свойство дает основание для следующего определения.

Определение. 1 Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X с законом распределения

a_k a₁ a₂ ...

p_k p₁ p₂ ...

называется число

M(x) = a₁p₁ + a₂p₂+... . (1)

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины X равно сумме произведений возможных значений величины X на их вероятности.

Смысл числа M(X) ясен из приведенного выше рассуждения. Он заключается в том, что около числа M(X) колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых величиной X в больших сериях опытов.

В случае, когда случайная величина X принимает бесконечное множество значений, правой части (1) стоит сумма бесконечного ряда, к определению математического ожидания мы добавим следующее требование: ряд (1) должен сходиться абсолютно. Другими словами, должен сходиться ряд

| a₁ | p₁+ | a₂ | p₂+... ,

составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Смысл этого требования очень прост. Если произвольным образом поменять местами столбцы таблицы, то измененная таблица будет по-прежнему задавать закон распределения величины X. В сумме (1) при этом произойдет перестановка слагаемых. Для того чтобы число M(X) оставалось неизменным, нужно, следовательно, потребовать, чтобы сумма ряда (1) не менялась при любой перестановке слагаемых. Как известно, таким свойством обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

Для непрерывных случайных величин определение математического ожидание получается заменой суммирования на интегрирование.

Определение. 2 Пусть X - непрерывная случайная величина, с плотностью вероятности p(x). Если сходится интеграл

то математическое ожидание X находится по формуле

Свойства математического ожидания

Пусть C - постоянная величина, X и Y - произвольные случайные величины. Будем считать C случайной величиной с законом распределения

a_k C

p_k 1

1. M(C) = C.

2. M(CX) = CM(X).

3. M(X + Y) = M(X) + M(Y).

4. M(XY) = M(X)M(Y), если случайные величины X и Y - независимы.

Будем считать, что случайные величины X и Y - независимы, если для любых a, b О R независимы случайные события
{X < a} и {Y < b}.

Доказательство. Будем проводить доказательство для дискретных случайных величин.

1. M(C)=1·C = C.

2. Пусть случайная величина X имеет закон распределения

a_k a₁ a₂ ...

p_k p₁ p₂ ...

Тогда случайная величина CX имеет следующий закон распределения

b_k Ca₁ Ca₂ ...

q_k p₁ p₂ ...

M(CX) = (Ca₁)p₁ + (Ca₂)p₂ + ... = C(a₁p₁ + a₂p₂ + ...) = CM(X).

Доказательство свойств 3 и 4 посмотреть самостоятельно в [].