Дисперсия случайной величины





Пусть случайная величина X это дальность полета снаряда выпущенного из артиллерийского орудия, отсчитанная от точки расположения орудия.

Пусть X1,X2,...,Xn это дальности полета снарядов измеренные при n выстрелах.

Тогда = (X1 +...+ Xn) это средняя дальность полета снаряда при n выстрелах. Как мы уже установили в предыдущем разделе » M(x).

Таким образом, M(X) характеризует теоретическую среднюю величину - расстояние от орудия до точки прицеливания. Однако, это лишь одна характеристика орудия. Нас еще интересует средняя величина отклонения места падения снарядов от точки прицеливания. Ее можно записать как M( | X - M(X) | ).

К сожалению, для такой величины нет хороших математических формул. Поэтому введена следующая мера квадрата отклонения случайной величины от среднего значения.

Определение. 1 Дисперсией случайной величины X называется число

D(X) = M [(X - M(X))2].

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения. Число

носит название среднего квадратичного отклонения величины X. Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения, то число s(X) можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | M - M(X) | .

Следующая формула вытекает из определения дисперсии:

D(X) = M(X2) - M(X)2.

Доказательство этой формулы основано на известных свойствах математического ожидания. Мы имеем:

D(X) = M [(X - M(X))2] = M [X2] - 2M(X)X + M(X)2=
= M(X2) - 2M(X)M(X) + M [M(X)2] = M(X2)- M(X)2.



Свойства дисперсии.



Пусть C - постоянная величина, X и Y - произвольные случайные величины.

1. D(C) = C.

2. D(CX) = CD(X).

3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), если случайные величины X и Y - независимы.



Доказательство. 1. Очевидно, так как отклонение постоянной случайной величины относительно математического ожидания равно нулю.

2,3 - доказать самостоятельно используя свойства математического ожидания.



Пример. Баскетболист бросил 10 раз мяч по корзине. Найти математическое ожидания числа попаданий, если броски независимые и вероятность попадания при каждом броске равна 0,4.

Решение. Пусть X - общее число попаданий и Xk - число попаданий при k-ом броске.

Тогда случайная величина Xk принимает значения 0 и 1.

Несложно проверить, что

Случайная величина Xk - дискретная, с законом распределения



  ak     0     1  
qk q p
 , где p = 0,4; q = 1-p.

Вычисляя математическое ожидание и дисперсию случайной величины Xk получим M(Xk) = p, D(Xk) = pq.

Тогда, в силу независимости случайных величин Xk,

Ответ: 10·0,4 ·0,6=0,24.