Плотность вероятности

Из всевозможных случайных величин мы выделим прежде всего те, которые могут принимать только конечное или счётное множество значений. Такие величины мы будем называть дискретными. Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины x, принимающей с положительными вероятностями значения
a₁, a₂, a₃, . . . , достаточно знать вероятности p_k = P(x = a_k). Очевидно, что по совокупности вероятностей p_k можно определить функцию распределения F(x) посредством равенства

в котором суммирование распространяется на все те индексы, для которых a_k < x.

Функция распределения любой дискретной величины разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, которые являются возможными значениями x. Величина скачков функции F(x) в точке x, равна разности F(x+0) - F(x). Если два возможных значения величины x разделены интервалом, в котором других возможных значений x нет, то в этом интервале функция распределения F(x) постоянна. Если возможных значений x - конечное число, например п, то функция распределения F(x) представляет собой ступенчатую кривую с п+1 интервалом постоянства. Если же возможных значений x имеется счётное множество, то это последнее может быть и всюду плотным, так что интервалов постоянства у функции распределения дискретной случайной величины может и не быть. Пусть, для примера, возможными значениями x будут все рациональные числа и только они. Пусть эти числа занумерованы каким-нибудь способом: r1, r2, ..., и вероятности P(x = r_k) = p_k определены посредством равенства p_k = . В нашем примере все рациональные точки являются точками разрыва функции распределения.

Несложно проверить, что для дискретных случайных величин

Если дискретная случайная величина имеет счетное множество значений, то мы получаем сумму ряда

Если дискретная случайная величина имеет конечное множество значений n, то сумма будет конечной

В этом случае значения случайной величины и соответствующие вероятности представляют в виде таблицы

a_k a₁ ... a_n

p_k p₁ ... p_n

которая называется законом распределения случайной величины.

Существуют случайные величины, которые не являются дискретными. Так, например, время ожидания теоретически может принимать любое значение из отрезка [ 0,T ] или даже из промежутка [0, +¥).

Для изучения таких величин ввели понятие плотности вероятности. Это понятие построено по типу определения удельных величин в физике. Например, удельная масса это масса, деленная на объем.

Рассмотрим среднюю плотность вероятности случайной величины x на промежутке [x, x + Dx).

Она равна

Она зависит в общем случае от x и D x. Чтобы сделать ее независимой от D x устремим D x к нулю и назовем полученный предел плотностью вероятности p(x) случайной величины x в точке x

если он существует. Плотность вероятности случайной величины равна производной функции распределения, если она существует p(x) = F ў(x).

Выделим класс случайных величин, для которых производная функции распределения определена во всех точках кроме, быть может, множества меры нуль.

Назовем случайную величину непрерывной, если для нее существует неотрицательная функция p(x), удовлетворяющая при любых x равенству

Функция р(х)называется плотностью вероятности случайной величины.

Свойства плотности вероятности

1. p(x) ³ 0 при всех x из области определения.

2. при любых a и b плотность вероятности удовлетворяет равенству

Пример. Случайные величины, распределенные по нормальному закону.

Для него плотность распределения вероятностей равна

Функция p(x) достигает максимума при x = a, имеет точки перегиба при x = a ±s; ось абсцисс служит для нее асимптотой при x® ±¥. Для иллюстрации влияния параметра a на форму графика

Рис. 6

плотности нормального распределения мы приводим на рис.6 графики p(x) при a = 0 и 1) s = , 2) s = 1, 3) s = 2. Мы видим, что чем меньше значение a, тем кривая p(x) имеет большее значение максимума и падает круче. Это означает, в частности, что вероятность попасть в интервал (-s, s) больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром a = 0), для которой величина s меньше. Мы, следовательно, можем считать s, характеристикой разбросанности значений величины x. При a № 0 кривые плотностей имеют ту же форму, но сдвинуты вправо (a > 0) или влево (a < 0) в зависимости от знака параметра a.

Помимо дискретных и непрерывных случайных величин, существуют, разумеется, и другие случайные величины. Кроме величин, которые ведут себя в одних интервалах как непрерывные, а в других как дискретные, имеются величины, не являющиеся ни в одном интервале ни дискретными, ни непрерывными.

Важную роль при изучении непрерывных случайных величин играет следующая теорема.

Теорема 1 Пусть x - непрерывная случайная величина, a - любое действительное число заданное до испытания.
Тогда P(x = a) = 0.

Эта теорема может быть доказана с помощью аксиомы непрерывности (доказать самостоятельно).

Можно считать, что координаты точки падения снаряда являются непрерывными случайными величинами. Таким образом вероятность того, что снаряд попадет в одну и ту же точку 2 практически равна нулю. Этот факт использовали солдаты во время II Мировой войны. При наступлении они прятались от обстрела в воронках от снарядов.

Следствие 1 Пусть x - непрерывная случайная величина, a < b - произвольные действительные числа. Тогда имеют место следующие равенства

P(a £ x £ b) = P(a £ x < b) = P(a < x £ b) = P(a < x < b).