Случайные величины

Функция распределения случайной величины

Существуют величины случайные по своей природе.

Примеры.

1. Количество студентов на лекции.

2. Оценка на экзамене.

3. Время ожидания транспорта и время ожидания вообще.

4. Число "орлов", выпавших при подбрасывании монеты n раз.

Список можно продолжить.

Определение 1. Пусть U - пространство элементарных событий, - алгебра событий. Функция x: U® R называется случайной величиной, если для любого x О R множество { u | x(u) < x} является случайным событием, то есть
{ u | x(u) < x} О .

Определение 2. Функцией распределения случайной величины x называется функция F(x) = P(x < x).

Пример. Пусть x это число "орлов", выпавших при подбрасывании монеты 2 раза.

С помощью классического определения несложно вычислить вероятности выпадения "орлов" k раз. Число выпавших "орлов" может меняться от 0 до 2.

ak	0	1	2
pk

Число a_k в таблице означает значение случайной величины, а p_k - соответствующую вероятность.

Вид функции распределения F(x) смотри на рис 5.

Рис. 5

Свойства функции распределения

1. 0 £ F(x) £ 1 для всех x О R.

2. Функция F(x) - не убывает, то есть x₁ < x₂ Ю F(x₁) £ F(x₂).

3. Функция F(x) - непрерывна слева, то есть

4. Выполнены следующие асимптотические свойства

5. P(a £ x < b) = F(b) - F(a).

Доказательство. 1. Следует непосредственно из определения функции распределения.

5. Справедливо следуещее равенство случайных событий
{x < b} = {x < a} + {a £ x < b}. Случайные события {x < a} и {a £ x < b} - несовместны. Следовательно,

P(x < b) = P(x < a) + P(a £ x < b).

По определению функции распределения получим P(x < b) = F(b), P(x < a) = F(a). Тогда F(b) = F(a) + P(a £ x < b). Из полученного равенства следует свойство 5.

2. Следует из свойства 5.

3. Возьмем монотонно возрастающую последовательность {a_n} такую, что a_n® x_n при n®¥.

Определим последовательность случайных событий A_n = {a_n £ x < x₀}. Она удовлетворяет аксиоме непрерывности.

Из аксиомы непрерывности

Для любой монотонно возрастающей последовательности {a_n} стремящейся к x₀ получили

Теперь свойство 2 следует из определению предела функции по Гамелю.

Свойство 4 также следует из аксиомы непрерывности (доказать самостоятельно).

Известно, что любая функция определенная на R, удовлетворяющая свойствам 1-4 является функцией распределения некоторой случайной величины. Можно моделировать любую случайную величину по заданной функции распределения.

Функция распределения определяется по случайной величине однозначно. Может существовать много различных случайных величин с одинаковыми функциями распределения.

Пример. Пусть функция x имеет следующий закон распределения

ak	-1	1
pk

Определим случайную величину h = -x. Случайные величины x и h имеют одинаковые функции распределения (начертить их самостоятельно).