Интегральная предельная теорема

При вычислении вероятностей для схемы Бернулли часто оказывается полезнее находить не P_n(m), а вероятность того, что число наступления событий попадет в диапазон от m₁ до m₂, которая обозначается через P_n(m₁ £ m £ m₂).

Теорема 1 При больших  n для схемы Бернулли справедливо приближенное равенство

Доказательство. Пусть

Тогда точки

Оценим искомую вероятность с помощью интегральной суммы

Для применения интегральной теоремы Лапласа нам потребуются свойства интегральной функции функции Лапласа Phi(x).

Свойства интегральной функции Лапласа



Рис. 4

1. Функция F(x) - нечетная, то есть F(-x)=- F(x).

2. Функция F(x) монотонно возрастает, то есть

x₁ < x₂Ю F(x₁) < F(x₂).

3. F(x) ® при x ® +¥ и F(x) ® - при x ® -¥. Если x > 3, то считают, что F(x) » .

3. Для функции F(x) составлены таблицы, которые содержатся во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей, а также эта функция реализована в электронных таблицах Excel и во всех системах компьютерной математики.

Пример 1. Вероятность брака для изделия некоторого производства оказалась равна 0,02. Чему равна вероятность того, что из 500 наудачу взятых изделий число бракованных окажется от 5 до 20?

Решение.Сначала вычислим .

Так как > 3, можно применять интегральную теорему Лапласа

» F(3,19)- F(-1,60) » 0,4993 + 0,4452 » 0,945.

Пример 2. Сколько раз надо бросить монету, чтобы относительная частота появления "орла" отклонилась от вероятности не более, чем на 0,01 с вероятностью 0,95 ?

Решение. В предположении, что число испытаний n достаточно велико и > 3 применим интегральную теорему Лапласа.

Подставим исходные данные вместо p, q и e

Тогда

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим такое значение t, что F(t)=0,475. Из монотонности функции F(x) следует его единственность. Оно равно 1,96.

Следует

Проверим применимость интегральной теоремы Лапласа