Локальная теорема Муавра-Лапласа

Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На некотором предприятии вероятность брака равна 0,02. Обследуется 500 изделий готовой продукции. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных.

Решение. P₅₀₀(10)= ·0,02¹⁰·0,98⁴⁹⁰.

Вычисление вероятности по такой формуле дает большую погрешность так как число - очень большое, а числа 0,02¹⁰ и 0,98⁴⁹⁰ - очень маленькие.

Лаплас нашел приближенную формулу для расчета P_n(k) при больших n.

Теорема 1 Если вероятность наступления некоторого события в n независимых испытаниях постоянна и равна
p(0 < p < 1), то вероятность P_n(m) того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно m раз удовлетворяет
при n® ¥ соотношению

Доказательство. Для доказательства используется формула Стирлинга n!=  nⁿe^-ne^{q _n}, где

Выразим m = np + x,  n - m = np - x.

Если x - ограничено, то m и n - m стремятся к бесконечности.

При этом

Рассмотрим

Известно следующее разложение логарифма

Применяя это разложение, получим

Тогда

Следовательно, A_n: при n® ¥.

Далее

Следовательно,

Оценка членов порядка позволяет показать, что удовлетворительная точность достигается уже при > 3.

В этом случае полагают

Для применения локальной теоремы Лапласа нам потребуются свойства локальной функции Лапласа j(x).

Свойства локальной функции Лапласа

Рис. 3

1. Функция j(x) - четная, то есть j(-x)=j(x).

2. j(x) ® 0 при x ® ¥. Если x > 3, то считают, что j(x) » 0.

3. Для удобства использования, для функции j(x) составлены таблицы, которые содержатся во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей, а также эта функция реализована в электронных таблицах Excel и во всех системах компьютерной математики.

Пример. Вероятность брака для изделия некоторого производства оказалась равна 0,005. Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий окажется 40 бракованных?

Решение. Сначала вычислим .

Так как > 3, можно применять локальную теорему Лапласа

Точные вычисления по формуле Бернулли дают вероятность P₁₀₀₀₀(40) » 0,00197.