Предельная теорема Пуассона

При доказательстве локальной теоремы Лапласа мы видели, что замена

действует тем лучше, чем больше

. В частности при малых p и q точность снижается. Для малых p применима формула Пуассона.

Рассмотрим последовательность серий

E₁₁,
E₂₁, E₂₂,
E₃₁, E₃₂, E₃₃,
.....................
E_n1,..., E_n1
.....................,

в которой события одной серии взаимно независимы между собой и имеют каждое вероятность p_n, зависящую только от номера серии. Через m_n обозначается число фактически появившихся событий n-й серии.

Теорема 1 (Пуассона). Пусть p_n® 0 при n ® ¥ так, что величина l = np_n остается постоянной (l = const). Тогда

Доказательство. Применим формулу Бернулли и заменим .

при n® ¥.

Пример. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.

Решение. » Ц5 < 3. Поэтому локальная теорема Лапласа - неприменима. Применим теорему Пуассона np = 5.

P_n(m ³ 2) = 1 - P_n(0) - P_n(1) » 1 - e^-5 - 5e^-5 » 0,9596.

Вычисления по точной формуле дают P_n(m ³ 2) » 0,9575.