Формула Байеса





Следующая теорема позволяет рассчитывать условные вероятности гипотез Hk при условии, что событие A уже произошло. Она может применяться при обработке результатов научного эксперимента.

Теорема 1 Пусть Hk и A - случайные события и P(Hk) № 0, P(A) № 0. Тогда

Доказательство. Эта формула следует непосредственно из теоремы умножения

P(HkA) = P(H)PHk(A) = P(AHk) = P(A)PA (Hk).

Выражая PA(Hk) из полученного равенства, получаем искомую формулу.



Если гипотезы Hk удовлетворяют условиям формулы полной вероятности, получается следующее утверждение.

Следствие 1 Пусть случайные события A, H1,...,Hn таковы, что A Ì H1+...+Hn и события H1,...,Hn - попарно несовместны. Тогда

Утверждение непосредственно следует из теорем 2.8 и 2.9.



Пример. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную - с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение.Пусть случайное событие H1 означает, что на контроль поступило стандартное изделие, а H2 - нестандартное. Из условия P(H1)=0,96, P(H2)=0,04. Случайное событие A состоит в том, что изделие прошло контроль.

Нас интересует PA(H1).

Нам известны условные вероятности PH1(A)=0,98 и PH2(A)=0,05.

По формуле Байеса