|
|
|
|
|
|
Одним из эффективных методов подсчета вероятностей является формула полной вероятности, с помощью которой решается широкий круг задач.
Теорема 1 Предположим, что случайное событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий H1,...,Hn, которые называются гипотезами. Имеет место следующая формула полной вероятности
P(A) = P(H1) PH1(A)+...+P (Hn)PHn(A).
Формула полной вероятности читается так: вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.
Доказательство. По условию событие A может произойти лишь вместе с одним из событий H1,...,Hn. Следовательно, A = H1A+...+ HnA. Так как случайные события H1A,..., HnA - попарно несовместны, справедливо следующее равенство
P(A) = P(H1A+...+ HnA) = P(H1A)+...+ P(HnA).
Применяя к его слагаемым теорему умножения получим искомую формулу полной вероятности.
Пример. Имеются три урны. В первой находятся 5 белых и 3 черных
шара, во второй - 4 белых и 4 черных, в третьей - 8 белых.
Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например,
что сначала осуществляется выбор шара из вспомогательной
урны, где находятся три шара с номерами 1, 2, 3 соответственно) и
из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он
окажется черным (событие A)?
Решение. Шар может быть вытащен из первой урны, либо из
второй, либо из третьей; обозначим первое из этих событий H1
второе - H2, третье - H3. Так как имеются одинаковые шансы
выбрать любую из урн, то P(H1) = P(H2) =
P(H3) =
.
Далее находим вероятности события A при каждом из условий
H1, H2, H3.
Отсюда
P(A) = P(H1)
PH1(A) +
P(H2)PH2(A)
+ P(H3)
PH3(A)
= 
