Примеры решения задач





Пример 1. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен белый шар.

Решение: пусть события А – первый вынутый шар белый, событие В – второй вынутый шар белый. События А и В зависимые, условная вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило (m = 20 – 1 = 19 – осталось белых шаров, n = 26 – 1 = 25 – осталось всего шаров), будет такова:

PA (B) =

Пример 2. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение: пусть событие А – первый вынутый шар белый, событие В – второй вынутый шар белый, событие АВ – оба вынутых шара белые.

P(А) = PA(B) =

События А и В зависимые, значит:

P(АB) = P(А) × PA(B) = 0,77 × 0,76 = 0,5852.

Пример 3. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что хотя бы один шар белый.

Решение: Пусть событие А – первый вынутый шар белый, событие В – второй вынутый шар белый, событие АВ – оба вынутых шара белые, событие А + В – либо первый шар белый, либо второй шар белый, либо оба шара белые, т. е. вынули хотя бы один белый шар.

P(B) = P(А) = PA(B) =
P(AB) = P(A)PА(B) = 0,77 • 0,76 = 0,5852.

События А и В – совместные, т. к. могут произойти одновременно. По теореме 3:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,77 + 0,77 – 0,5852 = 0,9548.

Задачи для самостоятельного решения

  1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.
  2. В колоде 36 карт. Наудачу из колоды вынимают 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.
  3. В урне 2 белых и 3 черных шара, из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.
  4. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2туза?
  5. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд туз и дама?
  6. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали двух человек. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
  7. В семье двое детей. Принимая равновероятность рождения мальчика и девочки, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.
  8. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?
  9. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будут вынуты пики или туз.
  10. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найдите вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
  11. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,5. Какова вероятность хотя бы одного попадания?
  12. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность, что они обе стандартные?
  13. Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну. Какова вероятность, что будут вынуты пики или туз?
  14. Слово «ананас» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди 3 карточки и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что из них образуется слово «сан»?
  15. В лабиринте на правильном маршруте имеются 3 развилки, на каждой из которых нужно выбирать одно из двух направлений. Какова вероятность, что испытуемый пройдет лабиринт с первой попытки?
  16. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 2 или на 5?
  17. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,7. Какова вероятность ровно одного попадания?
  18. Из карточек с буквами составлено слово «колокол». Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбирают 4 и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово «клок»?
  19. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар белый, а второй черный?
  20. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара белые?
  21. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 3 или на 5?
  22. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар черный, а второй белый?
  23. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара черные?
  24. Слово «шарада» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди и выкладывают в ряд 3 карточки. Какова вероятность, что из них образуется слово «шар»?