Независимые события, условные вероятности





Рассмотрим следующий пример.

Пример. Брошены две игральные кости.

Пусть случайное событие A состоит в том, что на первой кости выпало четное количество очков, а случайное событие B означает, что число очков на второй кости 3 или 6.

Тогда P(A)=, P(B)=. Из классического определения вероятности находим, что P(AB)=.

В данном случае справедливо равенство P(AB)=P(A)P(B).

В рассмотренном примере результат бросания одной кости не влияет на результат бросания другой кости. Назовем такие случайные события независимыми.

Определение. 1Скажем, что случайные события A и B - независимы, если справедливо равенство P(AB) = P(A)P(B).

Бывают события независимые по смыслу. Например, считается, что если стрелки стреляют одновременно, то результаты стрельбы, независимы. Обычно, в условиях задачи сообщается, что станки или приборы и т. д. работают независимо.

Предложение 1 Пусть A и B - независимые случайные события. Тогда следующие пары случайных событий также независимы и B, A и , и .

Доказательство смотри в [1].

Пример. Два стрелка стреляют одновременно. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель, если вероятности попаданий стрелков равны соответственно 0,7 и 0,8.

Решение. Пусть случайные события A и B означают, что первый или второй стрелок попадет в цель. Нас интересует вероятность P(A+B).

P(A+B) = P() = 1-P( ) = 1-P() P() = 1- (1-0,3)(1-0,2)=0,94.

Определение. Скажем, что случайные события A1, ..., An - независимы в совокупности, если

P(A1, ..., An) = P(A1) ... P(An).

Оказывается, что попарной независимости случайных событий недостаточно, для независимости в совокупности. В качестве примера могут служить случайные события, связанные с бросанием правильного тетраэдра, три грани которого окрашены в белый, красный, и черный цвета, а четвертая грань сразу в три перечисленных цвета [1].


Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Пусть A и B - два случайных события по отношению к некоторому опыту S, причем P(B) № 0. Число

называется вероятностью события A при условии, что наступило событие B, или просто условной вероятностью события A.

Несложно проверить, что для независимых случайных событий A и B с ненулевой вероятностью справедливы равенства
PB(A) = P(A) и PA(B) = P(B).

Из определения условной вероятности получаем равенство P(AB) = P(A)PA(B), если P(A) № 0. Это равенство называют теоремой умножения вероятностей.