|
|
|
|
|
|
Определение. Пусть U - множество элементарных событий,
- система подмножеств из U.
называется алгеброй множеств, если
1) U О
, Ж
О
.
2) A О
Ю 
О .
3) A,B О Ю AИB, AЗB О .
Если в дополнение к 1)-3) еще выполнено
4) An О
(при n=1,2,...)Ю
О
,
О
, то множество
называется s - алгеброй.
Элементы из называются случайными событиями.
Под операциями над случайными событиями понимают операции над множествами:
A\B соответствует A-B;
AЗB соответствует AB;
AИB соответствует A+B;
соответствует
.
Под аксиоматическим определением вероятности будем понимать
заданные множество элементарных событий U, алгебру множеств
, заданную на U и функцию P:
® R
называемую вероятностью и удовлетворяющую следующим аксиомам:
A1. "A О (P(A) ³
0).
A2. P(U)=1.
A3. Если A1, ..., An
О
- попарно несовместны,
то
P(A1+...+An)
=P(A1)+...+P(An).
Из аксиом A1-A3 можно вывести следующие свойства.
Свойства вероятности:
1. P(V)=0.
2. "
A О
P()=1
-P(A).
3. "
A О
(0 £ P(A) £ 1).
4. A Н B Ю P(A) £ P(B).
5. P(A+B) =P(A)+P(B)- P(AB).
Система аксиом непротиворечива. Для этого достаточно выбрать конечную непротиворечивую модель. В качестве примера можно рассмотреть множество элементарных событий, связанное с бросанием монеты или игральной кости.
Расширенная аксиома сложения.
Если случайное событие A равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий A1,...,An,..., то
|
Аксиома непрерывности.
Если последовательность случайных событий B1, ..., Bn,... такова, что что каждое последующее влечет за собой предыдущее Bn+1 М Bn и Хk Bk=Ж, то P(Bn)® 0 при n® ¥.
При применении расширенной аксиомы сложения и аксиомы непрерывности
следует предполагать, что множество является
s-алгеброй.
Предложение 1 Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности
- эквивалентны.
Пусть B1 Й B2 Й ... Й Bn Й ... и Хk ³ n Bk=Ж.
Справедливо равенство
Из расширенной аксиомы сложения получаем
Таким образом P(Bn) - остаток сходящегося ряда
Следовательно, P(Bn)® 0 при n® ¥.
2. Ь
Пусть
Из аксиомы непрерывности следует, что P(Bn)® 0 при n® ¥.
Справедливо равенство случайных событий A = A1 +...+ An + Bn+1.
Из обычной аксиомы сложения получаем
|
Следовательно, ряд
