| |
|
|
Из механики известно определение элементарной работы силы
Пусть в электрическом поле существует точечный заряд, который под действием поля перемещается из точки 1 в точку 2.
Считается, что заряд постоянный. Таким образом, работа равна криволинейному интегралу от напряженности, вычисленному вдоль траектории.
Очевидно, что данная работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Можно сделать вывод о том, что если заряд перемещается по замкнутой траектории, то работа поля равна нулю. Таким образом, можно записать
Пусть поле создано системой точечных зарядов. Вычислим интеграл от напряженности по замкнутой траектории.
Данное утверждение и составляет суть теоремы о циркуляции. В математике подобный интеграл называют циркуляцией.
 |
Циркуляция напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю. |
Пусть в некоторой области пространства существует векторное поле 
.
|
Циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру L
называется следующий криволинейный интеграл:
|
Здесь 
- единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура.
Существует соглашение, что положительное направление обхода контура (направление ) выбирается таким, чтобы область, охваченная
контуром, оставалась при обходе слева.
Напомним, вкратце, как можно “сконструировать” криволинейный интеграл. Для этого нужно
выбрать точку на контуре, показать в ней вектор , в этой же точке показать единичный вектор
касательной, вычислить скалярное произведение 
, разбить контур на малые элементы, длину элемента обозначить 
, вычислить произведение 
; проделать это для всех элементов контура; произвести суммирование результатов,
устремляя элемент длины контура к нулю - перейти от суммирования к интегрированию.
Так же, как и поток, циркуляция является ещё одной характеристикой свойств векторного поля. А именно, циркуляция характеризует степень завихренности векторного поля.
Пример: если в качестве «измерителя» циркуляции поля скоростей жидкости можно взять турбинку, то если она вращается, циркуляция не равна нулю.
Циркуляция – это интегральная характеристика поля.
Поле по своей структуре может быть достаточно неоднородным. Циркуляция же не дает детальной характеристики поля. Следовательно, начнем стягивать контур интегрирования к какой-либо точке М (уменьшать турбину). Циркуляция при этом будет стремиться к нулю, но и площадь, охваченная контуром, также будет стремиться к нулю. А их отношение дает конечное число.
Турбину можно ориентировать в пространстве тремя независимыми способами. Следовательно, таким способом можно получить 3 независимых числа, а три числа – это вектор, следовательно, образуется векторная характеристика поля, которая и называется ротором.
Ротор – это локальная или дифференциальная характеристика.
В математике доказывается теорема Стокса, связывающая циркуляцию вектора с интегралом по поверхности, охваченной контуром интегрирования.
Используя формулу Стокса можно показать, что ротор напряженности электрического равен нулю.
- это теорема о циркуляции в дифференциальной форме.
Заметим, что данная теорема справедлива только для электростатического поля. Если поле не статическое, то теорема не справедлива. В принципе измерить циркуляцию или ротор можно с помощью «электророторметра».
Из механики известно, что если работа силы не зависит от формы траектории, то сила называется консервативной, а если работа поля по замкнутой траектории равна нулю, то поле называется потенциальным. Следовательно, кулоновская сила – это сила консервативная, а электростатическое поле – поле потенциальное.
В связи с этим можно ввести понятие потенциальной энергии.
Поделим работу на заряд.
Правая часть зависит только от самого поля. Следовательно, и левая часть также является характеристикой поля. Её называют разностью потенциалов.
|
Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется отношение работы, совершенной полем по перемещению пробного заряда между этими точками к величине этого заряда. 
|
Следующее выражение – интегральная связь между разностью потенциалов и напряженностью.
Не следует путать разность и изменение.
Замечание: Потенциальная энергия (потенциал) определяется с точностью до постоянной, и физический смысл имеет не она сама, а её изменение или разность.
Замечание: Потенциал и напряженность – это две равноправные характеристики поля. Напряженность – это силовая характеристика, а потенциал – энергетическая.
Замечание: Если рассматриваемая среда не вакуум, то напряженность и потенциал в e раз меньше, где e – диэлектрическая проницаемость среды.
|
1 Вольт – единица СИ разности потенциалов, равная разности потенциалов
между двумя точками электрического поля при перемещении между которыми пробного
заряда 1 Кулон совершается работа 1 Джоуль.
|
| |
|
|