| |
|
|
Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля – напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.
В физике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.
 |
Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор. |
Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.
Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.
Пусть имеется какое-либо векторное поле 
и некоторая поверхность S.
На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке 
.
|
Потоком 
|
или используется ещё обозначение 
,где
– произведение нормали на площадь.
Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как
,
где 
– интеграл по замкнутой поверхности.
Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.
Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.
|
Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.
|
Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div<0, то в точке сток поля; если div=0, то нет ни источника, ни стока.
Чем больше div, тем мощнее источник.
дивергенция – это скалярная характеристика, поставленная в соответствие векторному полю.
a)Декартова (x,y,z).
b)Цилиндрическая (r; j; z),
c)Сферическая (r, j, q).
Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.
Это теорема Гаусса в интегральной форме.
Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.
|
Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности. 
|
Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:
Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.
>
Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то
На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.
Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.
| |
|
|
вектора 
через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
, div – дивергенция.