ЛЕКЦИЯ №8

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ

Плохо заряду, когда он один.
Горе одному, один не воин.
Каждый дюжий ему господин,
И даже слабые, если двое.
(почти В.В.Маяковский)

1. Понятие о диполе.

Простейшей системой точечных зарядов является диполь (от лат. «двойной полюс»).

def: Диполем называются два равных по величине, но противоположных по знаку точечных заряда, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (см. рис.8.1).

def: Электрическим дипольным моментом называется величина, определяемая как
   (8.1)

Следует отметить, что дипольный момент не зависит от положения диполя в пространстве, так как вектор  остается неизменным при любом выборе тела отсчета. Поэтому без ограничения общности в дальнейшем начало координат будем выбирать в центре диполя, если другое не оговорено особо.

2. Поле диполя в дальней зоне.

Очевидно, что напряженность в произвольной точке пространства М (см. рис.8.2) по принципу суперпозиции равна

   (8.2)

где , а . После подстановки имеем

   (8.3)

Подробнее рассмотрим знаменатели, считая что l>>r и a - угол между и . При разложении в ряд пренебрегаем последним членом.

Аналогично поступаем со вторым знаменателем. При приведении к общему знаменателю в (8.3) ряд слагаемых в числителе взаимно уничтожаются, а в знаменателе пренебрегаем квадратичным членом. В итоге получаем

   (8.5)

Окончательно, учитывая, что , имеем

    (8.6)

Это напряженность электрического поля диполя в дальней зоне, т.е. в точках пространства, где r>>l.

3. Частные случаи.

Легко понять, что при выборе осей так, как показано на рис.8.3, проекции напряженности и ее модуль равны соответственно

Видно, что напряженность убывает по закону кубов (а не квадратов).

точка угол напряженность
A,
C		 a=0;
a=p
B,
D		 a=p/2

В характерных точках, указанных на рисунке 5.3 выражения для напряженности даны в таблице.

Легко определить угол между напряженностью и радиус вектором (см. рис.8.4)

Используя тригонометрическую формулу , получаем

   (8.14)

причем смысл имеет верхний знак.

4. Диполь во внешнем однородном поле.

На диполь действует пара сил, сумма которых равна 0, то есть центр диполя остается на месте или движется равномерно и прямолинейно (вспомните механику!). Однако момент этой пары сил (рис.8.5) отличен от нуля

   (8.15)

и стремится развернуть диполь по полю, причем после поворота диполь окажется в положении устойчивого равновесия. Диполь может быть приведен в равновесие и поворотом против часовой стрелки (см. рис.8.5), но в этом случае равновесие будет неустойчивым.

5. Векторное произведение (математическое отступление).

Опыт показывает, что студентам время от времени нужно напоминать, что такое векторное произведение двух векторов.

def:Векторным произведением двух векторов и называется вектор, модуль которого равен absina, где a - угол между векторами, а направление определяется правилом правого винта (буравчика).

Правило правого винта заключается в следующем: винт с правой (обычной) резьбой нужно вращать от первого вектора ко второму. Тогда поступательное движение винта покажет направление векторного произведения. Полезно запомнить, что векторное произведение всегда перпендикулярно плоскости, образованной векторами – сомножителями. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Направление векторного произведения зависит от порядка сомножителей.

6. Диполь во внешнем неоднородном поле.

Пусть теперь поле неоднородно в пространстве.

Если считать, что в области диполя поле меняется очень слабо, то формула для момента остается прежней (см.8.15), и диполь также стремится развернуться по полю (рис.8.6).

Не строго получим выражение для силы, действующей на диполь.

   (8.17)

Опять будем считать, что диполь очень маленький (точечный), то есть заряды смещены друг относительно друга на бесконечно малый вектор . Это означает, что значения напряженности поля в точках нахождения зарядов бесконечно мало отличаются друг от друга, поэтому , где можно записать как полный дифференциал

где - уже упоминавшийся ранее (см. лек.№7 п.16) набла-оператор (оператор Гамильтона). Обратите внимание на расстановку знаков. На вектор напряженности действует весь оператор, стоящий в скобках , а не только оператор , хотя бы потому, что никто не знает, что такое градиент векторного поля (математики такой операции еще не определили).

Таким образом, (8.17) принимает вид

   (8.19)

Еще немного поиграем с формулами векторного анализа. Нам известно (а вам?!), что

   (8.20)

Второе и четвертое слагаемые равны нулю, т.к. дипольный момент не зависит от координат, как это отмечалось в пункте 1. Третье слагаемое в электростатике также обращается в нуль по теореме о циркуляции (6.15). Тогда силу, действующую на диполь можно записать в виде

   (8.21)

Вспомним, что в механике между силой и потенциальной энергией Wp есть связь . Тогда очевидно, что в электростатическом поле диполь обладает потенциальной энергией

   (8.20)

Очевидно, что потенциальная энергия минимальна, если дипольный момент и поле сонаправлены, то есть, диполь развернут по полю.

Из (8.19) или (8.21) ясно, что диполь втягивается в область более сильного поля. Проиллюстрируем данный вывод на следующих примерах.

Пусть диполь уже развернулся вдоль поля (см. рис.8.7), то есть . Тогда

,

причем px>0,

Fx<0.

Другой пример: диполь симметрично расположен относительно поля (рис.8.8), . Поле тоже считаем симметричным относительно оси OY. Тогда

и

из симметрии поля,

а так как .

Подытожим сказанное:

·   Диполь разворачивается вдоль поля;

·   Диполь втягивается в область более сильного поля;

·   Электрическое поле может растянуть диполь. (Мы рассматривали только жесткий диполь).

7. Общий вид поля диполя.

Легко показать, что в полярных координатах уравнение силовой линии имеет вид (рис.8.9)

r=const×sin2(a).   (8.26)

Здесь первую полярную координату r обозначим r, чтобы не путать с плотностью заряда, а вторую полярную координату обозначим a, чтобы не путать с потенциалом.

В самом деле, если речь идет о декартовых координатах, то уравнение линии напряженности строится из следующих соображений

Аналогично поступаем и в полярных координатах

Используя формулу (8.14), получаем

.

После чего переменные легко разделяются

.

Данное дифференциальное уравнение интегрируется достаточно просто

lnr=2ln(sina)+C.

Из него и следует формула (8.26).

Вид поля диполя в дальней зоне представлен на рис.8.10.

8. Потенциал поля диполя.

Поступим аналогично пункту 2.

после разложения знаменателей в ряд и приведения подобных слагаемых получаем

   (8.34)

Очевидно, уравнение эквипотенциальной поверхности в полярных координатах имеет вид

Картина эквипотенциальных линий приведена на рис.8.11. Полезно сравнить с силовыми линиями диполя (рис.8.10). Легко написать

   

откуда вновь можно получить (8.26).

9. Дипольный момент системы точечных зарядов.

Квазинейтральная система точечных зарядов занимающая небольшой объем ведет себя как точечный диполь. Действительно, можно разделить все заряды системы попарно, т.е. получить систему диполей, а затем все дипольные моменты перенести в одну точку и сложить. Необходимо только, чтобы размеры системы были достаточно малы. Без аккуратного доказательства примем, что дипольный момент системы зарядов

Очевидно, что дипольный момент заряженного тела вычисляется по формуле

Простой пример: два заряда (рис.8.12)

,

то есть получили результат, известный ранее (8.1).

Система состоящая из двух зарядов — диполь — мультиполь первого порядка, из четырех — квадруполь - мультиполь второго порядка, из восьми — октуполь — третьего порядка и т.д. Тогда поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить в виде разложения по мультиполям.

10. Почему так подробно о диполе.

Столь большое внимание, которое было уделено понятию и свойствам электрического диполя, связано с тем, диполь является простейшей моделью полярных молекул, которые мы будем рассматривать при изучении поля в веществе. Необходимо отметить, что дипольный электрический момент является основной характеристикой электрически нейтральных систем зарядов, и поэтому играет большую роль в различных вопросах теории молекул. Если же в системе столь симметричное расположение зарядов, что и дипольный момент равен нулю, то в дело вступает квадрупольный момент и так далее.

Кроме того, электрический диполь – это одно из важных понятий в теории излучения электромагнитных волн. Переменный во времени электрический диполь является наиболее простой (и исторически первой) моделью излучающей системы, с которой подробнее познакомимся в лекции №35.