УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Интегральное уравнение и(х) — ф[х, А,(и), . . . , А„(и)} допускает решение в сфере 5 = -j \\u\vdx < Я} в простран­ стве Д, /7 > 2, и притом единственное, если выполняются следующие условия: В этой теореме всюду полагается а,—1, г'= 0, 1, 2,..., п. 1. |ф {X , Zj, Z2, . . • , Zn) ф ( X t , Zj , Zj , . . . , z j [ «0 П , «! * < у И „ | х — jc,j + S y W j j Z i — z j для всех Zj, z[, —принадлежащих сфере 5. 2. J|Aj (х, y ) pdy <C? , С, —константа, q = -■£--. 3. /О, и)—непрерывная функция по „«"для всех ие 5 и такая, что имеет место условие (4). 4. sup 1 / 1 ( 3 /, м)|р< Д (>/), Д ( 3 /)—суммируемая функция по у и §Di(y) dy <C.Qi ‘, Qi~ константа. 5. (1 + S МЧ)"'"- «|ф (* ,0 , . . . ,o)|P+ /=1 + S C“iP' Qi mes E\ dx<K. 1 -1 1 6. Я/i (У, « i ) - / i ( ^ , ut ) f d y< D i d y . 7. j Ip(jc, 0, . . . , 0) \vdx < E, E— константа. n ,p|q n 8. {S M*\ • S C.pmes£=>p< l . 1 <~i ■” ■■■ По предыдущей теореме решение уравнения существует. Докажем, что оно—единственное. Воспользуемся теоре­ мой Коччиополи, для чего достаточно показать, что р[0 (« 1 ), 0 (и 2 )]<Хр[«j, иг\, где >-<1 и не зависит от выбора функций и и2. Рр[0(к1), 0(и2)] = Я<р(*, ЛДи,), А2(и j), . . . А(и , ) ) - - Ф(лг, А ,(«,), . . . , An(u2))\v<lx= \[ Е ЩА^и^ - i-i Теорема V 235