УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

На основании предыдущих теорем оператор О'и) —ком­ пактен и непрерывен в сфере S = {J \и\рdx < /бр} прост­ ранства /.р. Семейство функций S = [ J- \и (x)\pdx < Ар| есть замкнутое и выпуклое семейство в пространстве Ар. Покажем, что наш оператор О (и) переводит элементы этой сферы в ее часть. х IО (w)|PаОс= J Iср(JT, Л, (и), . . . , Ал{и)\*йх< <П1*(* ,0 , . . . ,0)1+ ЕМ,И,(и)| ]*dx< i- i < (1 4- £ Mf ) Ч- N I? (х, 0, . . . , 0)|Р+ Ё |Л.(и)| р i ”dx = i - l i- l = ( l- f Ё мЧ)". J{|<p(*,0, . . . ,0)|Р+ i-l П Р , 1|р + S [л К{(X, у ) /i (у, и) \dy\ [ dx < i-i п H i 4 P < 0 + £ N|? (*, 0, . . . , 0)| 4- i - 1 _р_ 4- S ( \\Ki{x%y)^dy] 4 • [Л А (.У, «/«ЭД } Pdx= i-i n . i|q P = (14- S МЧ) ■ «|ф(дг>0, . • • ,0)| + i- i n 4- E i - 1 < ( 1+ £ 1{|ф(л-,0.................. 0)\ + i I n p l|p 4- S C| Qi(mes£')j- dx<K. j=l Применяя далее теорему Шаудера, заключаем, что при преобразовании с помощью оператора О (и) существует неподвижная точка, то есть и =0(и) , что и требовалось доказать. 234 ki(x, y)\*dv ( р - d [I А(у, и) \ р dy Ир dx<