УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

n Plq n — A{(u2)\pdx <j| £^M,4} • {Sj/4i ( «1) - 4 i («2)|P}^x= n p|q n P = | ^ ’ | • s { |JA (x, y)\f{(y, «2)] dy\pdx < i - l i=lj 2ШЛ* . (* .з01ч4у]Т<1- [ Ш у , и . ) - 1-1 i - l - / i ( ^ « 2)|P^ ] 1|P}P^ = : { £ ^ f 4. S j | / ,U « l ) - i=l i - l - / i ( ^ , « 2)lp^ • Ш1^. (*,>01ч<ЭДр1ч^ < n p|q n < { £A f 4} . £ [ lK - « 2|p<yfCp^ ] = i - i i - i n plq n = { £ Жч| • £ Cpmes E j |«, — u2\pdy = i - i i - i n p|q n = J|«i — u.,\pdy\ £ Ж[Ч • £ Cpmes E. i - i 1 i - i 1 Итак Pp[0(Mt), 0 (и,)] <ХррР(и„ и2) или Р [0 (ы^ , О(м2)]<Хр ( « ! , н2) . —не зависит от выбора функций „ и и „м2“. Теорема доказана. Согласно теореме Коччиополи-Банаха решение данного уравнения может быть найдено итерационным процессом. Если эту неподвижную точку обозначить через и(х), то она является пределом последовательности итераций: (1) М1==0(И0), И2 = 0(И1), . . . , « m= 0 ( «m - l ) , • • . где и0 —произвольная точка пространства Lp, р> 2. Выбор этой точки и0 будет влиять лишь на быстроту схо­ димости последовательности итераций (1). Сравним данное уравнение 1. u(x) = ff[jc, fKl(x, y) f l (y ,u)dy , . . . , $Ка(х, у) fa(y , u)dy] с уравнениями видов: 2. v = y[x, 4hl (x,y)[a.{v-\-Sx\dy, . . . ЛЛГп(х,^) [апт 1 — Sa]dy, где а„ а2, . . . , ап—константы и S2(y), . . . , Sn(y)~ —суммируемые функции со степенями 36