УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

q p—1 . , n plq , -K,(*,y)| dy-(iCO }^[<[ЕЖ,Я] •{|Л|р+ i-0 . + S Qi ( 2 Q P *• + y) — Kt(x, y)|4rfy] dx\ i-i По известной теореме Лебега j [J Ki(x + h, v)—f<i(x, y)|qrfv 1 dx^-0 при h-> 0. Откуда следует, что при h - y 0 и J|0 (х + h) - 0 (x )|pdx -у О оба условия теоремы Рисса имеют место для О (и) относи­ тельно семейства 5 = j м (л:) }, что и подтверждает ком­ пактность оператора О(и). ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ УРАВНЕНИЯ (') и(х) = tp [х, + (и), А2(и), . . . ,Ап (и)] Те ор ем а IV Интегральное уравнение 1. и(х) = <?[х, Л, (и), Л2(и), . . . , Ал{и)\ имеет решение, заключенное в сфере S — {/(л )} в про­ странстве Z,p, р> 2, если 1• !? (+ г1>^2> • • • »^n) ? (-И, 2qIZ2, . . . ,2n)|< n < M 0|x— jf,.| 4- £ Afi l^i — 2 '!. i-l 2 . J|Ai(x,jO|Vy<Cql. ? = —^-T» Cl ~ const. P — 1 3. А (.У, н)—непрерывная функция по „и“ для всех и е S и такая, что имеет место условие (4). 4. sup |А (у , и)|р< Д (j/), D{(у) —суммируемая функция и J Dt(y) </у< Qh Qi — константа. 5 . (1 +s ад)'14•j{|<p(x,o, о,. ., o)|+ i-1 + S Ci Qi mes E I dx<^K. i-i 3- JM*. 0, 0, . . . , 0 )\vdx < Z:, E —константа. 233