УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

§ 8. Поверхности постоянной меры кривизны Пусть R—г + гг = const, Тогда dR= - =0 и третья фор* rftf х мула Френэ (46) даст dB =0, откуда ~В= const. d-f Следовательно для поверхности (G) с постоянной мерой кривизны R поверхность бинормалей ( В ) вырождается в луч. Образующие G наклонены к лучу В под постоянным углом. Примем луч В за ребро координатного тетраэдра так, чтобы Д, =0 , Во — 0, Д3=1 . Тогда cosR= (G В)— G3. По­ ложим О,= siп/?• cos^; С2= sin/? • sin*j>. Для определе­ ния угла ф используем координаты центральной нор­ мали Н. //,= d(dl.= — sin sin-j» —; Нг— (~ - = sin^cos^— ;//, = 0 1 <*Ф г йФ 5 d<f> т d Ф Из условия единичности вектора Н, находим. № откуда s in>R(^Y=] , I ^ I Ф Ф= ± ----- + а, где а = const. sin£ Таким образом, координаты образующей g будут: G. = sin R- cos ( а ± -—Л; G, = sin/? • sin (а + [ sin R - 1 “ sin R j G.j ==cos R. Рассмотрим некоторые частные случаи: 1. Радиус кривизны поверхности р = sin/? = 0. Равенство sin/? = 0 равносильно двум следующим: sinr cos r= 0 и sinr • cosr= 0, откуда находим: 1) г = г = 0 или 2) г = г = ± —. 204