УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Поверхность ( Н) в этом случае будет развертывающей­ ся с ребром возврата (S), а линия (х) будет ортогональной траекторией поверхности (Н). Главная нормаль С кривой (£) и луч Т лежат в сопри­ касающейся плоскости к кривой (!;) и ортогональны лучу Т) , следовательно они пересекаются в некоторой точке tj на поляре е Н. Если угол между лучами Т и G по-прежнему обозна­ чать через 0, то cos 0= (уф. Бинормаль В кривой (I) (она же бинормаль поверхности (G)) скрещивается с лучом Т под прямым углом. Следо­ вательно, если £ = г + ег есть мера кривизны поверхности (С), то r = + ^-f-0- Это последнее равенство может быть получено также из формул (51) и (54). В рассматриваемом случае Дн 1 = 0> т- к. поверхность (Н) развертывающаяся. Следовательно, (51) дает А= , а из (54) получим: ctgQ— tgr —— tgr, откуда г —± -|- 0. r —есть радиус нормальной кривизны линии (х), ct g r — нормальная кривизна. Если обозначить через ф угол между спрямляющей плоскостью линии (х) и касательной плоскостью поверхности (G) в точке х, то ctg г — Лх cos ф, где Ах— кривизна линии (х). Заменяя tgr и tgr через ----- ! и—cfgO в выражении Kxcos4> для параметра распределения поверхности (G) получим: А= . Это—необходимое и—достаточное ус- Kxcos4- ctgO ловие, при котором стрикционная линия (х) будет линией кривизны поверхности (G). 4. Пусть (G) развертывающаяся поверхность с ребром возврата (л). Если (я) не вырождается в точку, то фор­ мулы (31) дают: р= 0, q ф 0. Обозначим элемент дуги кри­ вой (л:) через ds х. Из формул (31) находим: dsx = У dx1= = ~qdV. 202