УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Следовательно: (GHr = 0, (NHr) = О и формулы (57) дают: -^- = 0, откуда 0=r Const. </Фт Обратно,'если 0= Const, то (G//T) =(NHT)= 0 и следова­ тельно Нт совпадает с Н. Этим доказана теорема: Если стрикционная линия (х) является геодезической, то она пересекает все образующие поверхности под од­ ним и тем же углом 0. Верно и обратное заключение. 2. Пусть линия (х) является асимптотической на по­ верхности (G). В этом случае соприкасающаяся плоскость линии (х) в точке х будет касательной плоскостью к поверхности (G), а бинормаль 7VT совпадет с центральной нормалью И поверхности (С). Следовательно, N1T= О, NiT— 1, 7V,T= 0 и формулы (59) дают: = — 1, или d (>= —d<l>T. йфт т Так как поверхность (Т) развертывающаяся, элемент с/Фт гг с/срт есть обыкновенный угол между смежными каса­ тельными Т и T-\-dTT к кривой (х). Обозначим элемент дуги кривой (х) через dsx. Отношение есть кри­ визна линии (х) в точке х. I Тогда — ——Кх и 0= — IК xdsx (СО) dsx Обратно, из условия (60) следует, что линия (х) является асимптотической на поверхности (G). Если линия (х) является асимптотической или геодези­ ческой на поверхности (G), то она будет асимптотической или геодезической на поверхности (/V), так как централь­ ные нормали этих поверхностей лежат на одной прямой. 3. Пусть линия (х) является линией кривизны поверх­ ности (G). 201