УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Выразим скаляры/?, р, q, q через действительные и ду ­ альные части вектора G и его производных. Из уравне­ ния: S ' =РН_ следует: P=V^(G')2, откуда р2 + р2= (g'2) + + (g'2) и рр = (g'g'). Решая два последние уравнения относительно р и р, найдем: _____________—=^============г- р - (g'2) + (g'2)±V[(g’2) + ( ? 2Р - 4 (g’g'p р = у (g'2)+ (g'2) T/ftg'2)-f(?2)Р- 4(gV)2 ; Из второго уравнения таблицы (27) найдем: Q= (fT'N) [аа'} Но Н' = (~ =~ + G' (~ ; A l=[GH] п (О G'G") ( и G'Ti") следовательно Q= = - -• ( q '2) ^ AC— 2BD - AD— 2BC Откуда ? =: —-——— ; q = А*-4В* ' Д2_4£2 где для краткости положено: А= (g'2) ( g ' 2)] В—( g ' g ' у, с = Gr^'g") + (gg'g") +(gg'g") + g'g"); £> - • ( g g ' g " ) + ( g g ' g" ) + ( g g ' g " ) + ( g g ' g " ) . * * Пр и м е ч а н и е : Формулы (27) и (31) имеются у Бляшке (7), остальные являются обобщениями соответствующих формул евклидо­ вой геометрии. § 4. Геометрическое истолкование интегральных инвариантов j pdt, \pdt , \qdt , \qdt. Покажем, что луч N есть общий перпендикуляр двух смежных образующих G и G + dG поверхности (G). В самом деле, (GN) = О, ((G + dG) ?V)= (dG, ~N)=P(TiN)dt= = 0, что и доказывает утверждение. Очевидно луч е N будет вторым общим перпендикуляром для G и G+dG. т