УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Составим уравнения производных вершин х, у, z, w сопутствующего тетраэдра линейчатой поверхности: х'= аих + а ^ у anz + auw ' у '—а„х 4- аму + a2Zz + auw z'—azxx -f- a2iV+ a3tz + a3iw w'=aux + ai2y + aiSz + auw где положено: , dx x — dt У - dy_ dt dz ~dt W—■ dw dt Из условия ортогональности точек х, у , z, w следует кососимметричность матрицы [аы). Пользуясь равенствами (26), найдем: G'= [х', у] + [х, у'] = аи [z, у] + аи [w, у] + а23 [х, z\ + + a2i[x, w\——zauN+ s au H + a2SH+ au N= (а23+ -fsaji)// + (aa4—sflj3) N. Сравнение с первым уравнением таблицы (27) дает: (1,з=Р, аи=р , ati = а13= 0. Далее, N' —[x’w] + [х , «/] = а12[у,и>] + a iZ[x,z\ =(а43— еа12)Н. Сравнение с третьим уравнением таблицы (27) дает: а 34 — ?> а \г — Q- Подставив найденные значения коэффициентов а1к в выражения для производных х', у', z , и/, получим следую­ щую систему уравнений: x'=-qy_+pu, y ' - - ^ x + pz. (31=!=) z '=—py+q<» ш'= — рх — qz Это есть система однородных линейных дифференциаль­ ных уравнений, что доказывает следующую теорему Бляшке. Отношения р (t): ~p(t): q (/): q{t) определяют линейчатую поверхность (G) однозначно с точностью до движения. 185