УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

3. Об у р а в н е нии л:3+• х2у —2 ху2 — у я— 1. Уравнение х3 + х2у —2л:у2— у3= 1 (15) можно записать в виде (л + у-ц) (х+ у-ц') (х + У>]") = 1 или П(X + VT|)= 1, где г), т)', т )" корни уравнения ■'I1—т ’ —2т) + 1= О. (16) Таким образом, решение уравнения (15) заключается в отыскании в кольце О (yj) единиц специального двучлен­ ного вида х + у ц. И так как дискриминант уравнения D— 49 положите­ лен, то х + УТ |= ± -тЛ , где "! и т2—основные единицы кольца О (п). В качестве основных единиц кольца О ( tj ), как под­ считал Н. Hasse (см. 3), можно взять положительные корни уравнения (16). Пусть 7 i>V> 0 , а 7(" < О. Тогда х -j— У т|-— ± ч[пт\'п. (17) И вопрос решения уравнения (15) свелся котысканию показателей „ т “ и „ге“. Уравнение (17) эквивалентно следующему 5 p ( V - -V ) V n V" = 0 ИЛИ (7)' - 7,") 7/”Т("' + (у,"—У,)7/* 7|"« + (У)— 7/) у/""У(П= О. Далее, ввиду того, что уравнение (16) есть урав­ нение с циклической группой Галуа, то между его кор­ нями имеют место следующие соотношения: 7J У," = У," - 1 У}2 = — т " + 2 YJу/ = YJ— 1 у/2 = — У]+ 2 V = — У| — yj" V '2 = ■'i + у " + 1 50