Примеры решения задач

Случайные величины

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1 000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение: согласно закону распределения х принимает значения: х₁ = 0 – невыигрышный билет, х₂ = 1 – выигрыш в 1 руб., х₃ = в 100 руб. и х₄ = 1 000 руб.

Соответствующие вероятности будут: , где 100 – число выигрышей по 1 руб., а 10 000 – общее количество билетов;

; ;
р₁ = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.

Решение: М(Х) = 0 • 0,9889 + 1 • 0,01 + 100 • 0,001 + 1000 • 0,0001 = 0,21.
Очевидно, М(Х) = 21 коп. – справедливая цена одного билета.

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

D(X) = M(X²) – M²(X),

где M(X²) = x₁² • р₁ + x₂² • р₂ + x₃²• р₃ = =1² • 0,3 + 2² • 0,5 + 5² • 0,2 = = 0,3 + 2 + 5 = 7,3;

M²(X) = (х₁ • р₁ + х₂ • р₂ + х₃ • р₃)² = = (1 • 0,3 + 2 • 0,5 + + 5 • 0,2)² = (0,3 + 1 + 1)² = 5,29.

D(X) = 7,3 – 5,29 = 2,01.

Законы распределения случайных величин
Биноминальное распределение

Пример 1. Пусть всхожесть семян определенного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение: а) в данном случае n = 4; m = 3; p = 0,9; q = 1 – p; q = 0,1. Применяя формулу Бернулли, получим:

б) искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей получим:

Закон биномиального распределения

Пример 2. Монета брошена два раза. Напишите в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадения герба.

Решение: вероятность выпадения герба в каждом бросании монеты p = 1/2. Следовательно, вероятность невыпадения герба следующая: . При двух бросаниях герб может либо совсем не появиться, либо появиться 1 раз, либо появится 2 раза. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2. Найдем вероятность этих возможных значений по формуле Бернулли:

Закон распределения:

Характеристики дискретной случайной величины,
распределенной биномиально

Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Решение: по условию n = 20, p = 0,3, следовательно, q = 1 – 0,3 = 0,7. Тогда M(X) = np = 20 • 0,3 = 6; D(X) = npq = 20 • 0,3 • 0,7 = 4,2;

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть случайная величина Х – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины Х.
2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрываются 1 выигрыш в 500 руб. и 10 выигрышей по 100 руб. Найдите закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.
3. В лотерее на 100 билетов разыгрываются пылесос и плеер, стоимость которых 2 100 и 860 руб. Составьте закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет.
4. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:
   
   

   Х	1	2	3
   Р	0,3	0,2	0,5

   Найдите математическое ожидание М(Х).
5. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:
   
   

   Х	2	5	3
   Р	0,3	0,6	0,1

   Найдите математическое ожидание М(Х).
6. Найдите математическое ожидание суммы и произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
7. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

   Х	2	4	5
   Р(X)	0,1	0,3	0,6

   Y	7	9
   Р(Y)	0,8	0,2

   Найдите математическое ожидание случайной величины (XY).
8. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найдите дисперсии следующих величин:
   1. Х – 1;
   2. –2Х;
   3. 3Х + 6.
9. К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменятся ее:
   

   а) математическое ожидание;
   б) дисперсия?

10. Cлучайную величину умножили на постоянную а. Как при этом изменятся ее:

    а) математическое ожидание;
    б) дисперсия?

11. Случайная величина Х принимает только два значения: 1 и –1, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(X).
12. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по следующим законам распределения дискретных случайных величин:

    а)

    Х	-2	-1	0	1	2
    p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

    б)

    Х	1	3	4	6	7
    p	0,1	0,1	0,3	0,4	0,1

    в)

    Х	5	7	10	15
    p	0,2	0,5	0,2	0,1

    г)

    Х	4	10	20
    p	0,25	0,5	0,25

13. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X < p/4).
14. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X > –1).
15. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(–p/4 < X < p/4).
16. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X > 1).
17. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X < 1).
18. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задается формулой
    Найдите P(X > 1/2).
19. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X > 1/3).
20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X > 2/3).
21. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(p/4 < X < 3p/4).
22. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X ³ 1).
23. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X < 3).
24. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задается формулой
    Найдите P(X ³ 1).