Последовательность независимых испытаний

Формула Бернулли

Пусть задана последовательность n независимых испытаний с вероятностью p наступления случайного события A в каждом из них. Обозначим через P_n(k) вероятность события, состоящего в том, что A наступит в k испытаниях из n.
Пусть q = 1-p = P( ).

Такая последовательность независимых испытаний называется схемой Бернулли.

Теорема 1 (Формула Бернулли)

P_n(k) = C_n^k p^k q^n-k.

Доказательство. Пусть A_i - событие, состоящее в том, что случайное событие A наступило в i-ом испытании.

Тогда A₁...A_kk+1 ..._n - событие, состоящее в том, что A наступит в первых k и не наступит в испытаниях с номерами большими или равными k + 1, а его вероятность равна p^k q^n-k.

Для каждого подмножества B из k элементов множества {1,...,n } можно выписать случайное событие означающее, что событие A наступает только в испытаниях, номера которых в входят B.

Все такие события несовместны и имеют одинаковую вероятность равную p^k q^n-k.

Тогда

Pn(k)= е {i1,...,ik} О {1,...,n}   pk qn-k = Cnk pk qn-k,

где p = P(A_i), q = P(_i).

Пример. Самолет сбросил 6 бомб на цель. Вероятность того, что бомба попадет в цель равна 0,1. Найти вероятность того, что в цель попадут 2 бомбы.

Решение. По формуле Бернулли

Задачи для самостоятельного решения

1. Всхожесть семян равна 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян взойдет не менее двух?
2. В институте девушки составляют 70 % от числа студентов. Какова вероятность, что среди первых четырех встретившихся студентов все девушки?