МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

При выполнении эксперимента часто измеряют две величины х и у, причем у является функцией х. Найденное значения откладывают на графике и пытаются построить кривую, которая наилучшим образом отражает зависимость y=f(x). Ограничимся случаем линейной зависимости

у =b x + a                (16.1)

Задача состоит в том, чтобы найти параметры b и a, при которых прямая, выражающая на графике зависимость (16.1), наилучшим образом проходила бы через экспериментальные точки.

Пусть величины х и у измеряются прямым способом, их случайные погрешности распределены по нормальному закону, а систематическими погрешностями можно пренебречь.

Представим все экспериментальные данные x₁ и y₁ на графике. Геометрически задача измерения и состоит в определении параметров некоторой прямой: значения ординаты при нулевом значении абсциссы и тангенса угла наклона соответственно.

Рис.9

                  (16.2)

будет минимальна, то есть

                  (16.3)

Это условие выполняется, если производные будут равны нулю:

                  (16.4)
                  (16.5)
                  (16.6)

Отсюда находим:

                  (16.7)

Из (16.6) и (16.7) следует, что наилучшей оценкой В является следующее выражение:

                  (16.8)

а оценкой А:

                  (16.9)

где

                  (16.10)

Используя (16.10) формулу (16.8) можно преобразовать к виду:

                  (16.11)

Для определения погрешностей бывает достаточно вычислить стандартное отклонение коэффициента В или интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться коэффициент b. Стандартное отклонение коэффициента В определяется по формуле:

,                   (16.12)

в которой

,                   (16.13)
,                   (16.14)
,                   (16.15)

Интервал, в котором с задаваемой вероятностью a может находиться коэффициент В, записывается в виде:

,                   (16.16)

где В определяется формулой (16.11); S_в - формулой (16.12); t_a,n-2 - коэффициент Стьюдента для надежности a и значения параметре n-2; n - число пар экспериментальных точек.

Стандартное отклонение коэффициента А определяется по формуле:

,                  (16.17)

Рассмотрим следующий пример. Пусть произведено десять измерений пар величин х и у. Цифровые значения х могут быть фиксированными, то есть абсолютно точными. Необходимо: определить коэффициенты a и b (см.(16.1)).

Таблица 7

xi	xi-	(xi-)2	yi	yi-	(yi-)2	(xi-) (yi-)
0,2	-0.9	0,81	0,31	-1,36	1,85	1,22
0,4	-0,7	0,49	0,59	-1,08	1,17	0.76
0.6	-0,5	0.25	0,82	-0,85	0.72	0,42
0.8	-0,3	0.09	1,17	-0.50	0,25	0,15
1,0	-0.1	0,01	1.66	-0,12	0.01-	0,01
1.2	0,1	0,01	1.87	0,20	0,04	0,02
1.4	0,3	0,09	2,20	0,53	0.28	0,16
1,6	0.5	0,25	2,35	0,68	0,46	0.34
1.8	0,7	0,49	2,65	0.98	0,96	0,69
2,0	0,9	0.81	3,20	1.53	0,44	1,38

По формулам (16.10) находим:

=1,1; =1,67.

По формулам (16.9) и (16.11) определяют А и В:

А=-0,02, В=1,54.

Уравнение для наилучшей прямой имеет вид:

y = 1,54х -0,02.

Оценка стандартного отклонения для коэффициента В рассчитываем по формуле (16.12):

S_в=0.11.

Интервал, в котором с вероятностью a=0,90 находится коэффициент b, имеет вид:

1,54 ±0,21, вероятность a =0,90