СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ СРЕДНЕГО

Предположим, что результаты измерений величины x распределены нормально около истинного значения X с шириной s_x. Необходимо узнать, какова надёжность среднего значения для N измерений. Для ответа на этот вопрос представим себе, что N измерений повторяются много раз, причём в каждом случае определяется среднее значение . Нас интересует, как распределены полученные значения .

Величина есть простая функция измеренных значений

               (7.1)

Поэтому можно найти распределение с помощью расчёта ошибок для косвенных измерений.

Поскольку каждое из измеренных значений распределено нормально, то очевидно, что и также имеют нормальное распределение. Так как истинным значением для является X, то и истинным значением является также X. Следовательно, полученные значения распределены нормально около истинного значения X. Ширину этого распределения можно найти по формуле:

               (7.2)

Но:

               (7.3)

а из (7.1) следует:

.               (7.4)

Следовательно, вместо (7.2) получаем:

               (7.5)

Эту величину называют стандартным отклонением среднего. Видно, что при значение .

Вывод: значения распределены нормально с центром, равным истинному значению и с шириной ; другими словами, если найдено однажды , то вероятность попадания этого значения в интервал равна 68%.

Для оценки стандартного отклонения среднего, которую обозначим , используют формулу

               (7.6)

Величину называют выборочным стандартным отклонением среднего. Видно, что при увеличении числа измерений N растёт точность измерения. Стандартное отклонение среднего при косвенных измерениях может быть определено по формуле:

               (7.7)

Пример: определим выражение для стандартного отклонения величины q, которая связана с величинами x,y,z, определяемыми прямыми измерениями, следующим соотношением:

,               (7.8)

где - точные числа.

Для частных производных получаем:

.               (7.9)

После подстановки (7.9) в (7.7) имеем :

               (7.10)