Молодежь и наука - третье тысячелетие: Материалы студенческой научно-практической конференции

546 Г. Н. Шолохов Факультет математики физики и информатики, I курс (очная форма обучения) Научный руководитель – И. В. Денисов ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ХИМИЧЕСКИМИ И БИОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ Обыкновенные дифференциальные уравнения повсеместно применяются для построения математических моделей различных явлений и процессов в многих сферах техники и науки. С помощью ОДУ описываются переходные процессы в радиотехнических цепях, движения объектов, химических реакции, размножение биологических популяций, экономические модели. Многие приводные процессы можно описать с помощью ОДУ, тогда, ис- пользуя принципы составления и решения уравнений, мы можем изучать дан- ные явления, и решать технические задачи. Превращение вещества X Рассмотрим решение химической задачи, решаемой через ОДУ. Найти изначальный вес вещества Х, если известно, что, через 1 час после вступления его а в реакцию вес вещества Х составил 97,6г, а по истечении 4 ча- сов – 12,2г. Решение: В данной задаче представлена реакция первого порядка (n = 1). Сделаем обозначения. Пусть Х первоначальный вес вещества, через x – вес ве- щества, вступившего в реакцию и прореагировавшего за временной промежу- ток t, k – пропорциональный коэффициент константы скорости реакций, исходя из этого дифференциальное уравнение примет следующий вид: ) ( x Xk t X     Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, после интегрируем и в итоге получаем: ) ( ) ( t k х Х X          ) ( ) ( t k х Х X , kt C x X     ln ) ln( . Исходя из свойства логарифмов получаем уравнение следующего вида: kt x X C   ) ln( . Подставим начальные условия t=0, x=0: С = X в данное равенство и получаем: , ln kt x X Х   , kt e x X Х   kt Хe х Х  .