Молодежь и наука - третье тысячелетие: Материалы студенческой научно-практической конференции

39 Д. Р. Бирюков Институт прикладной математики и компьютерных наук Тульского государственного университета, магистрант I курса (очная форма обучения) Научный руководитель – Л. А. Толоконников РОЛЬ РАСШИРЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОГО ПОЛЯ В МАТЕМАТИКЕ Математика представляет собой науку, изучающую структуры, порядок и отношения формальным, логическим образом. Наиболее известными и изу- чаемыми математическими структурами являются числовые системы – особое внимание к ним связано с историческим возникновением данной науки из ис- следования процесса счёта. Развитие числовых систем, переход от одних – бо- лее простых – к другим – устроенным сложнее и обладающих большим количе- ством алгебраических и других свойств – связан как с необходимостью использовать числа в новых прикладных областях, так и с возможностью ис- следовать свойства уже построенных систем. К примеру, натуральные числа возникли в процессе счёта. Более сложные числовые системы – целые и рациональные числа – в отличие от натуральных, обладают свойством замкнутости относительно большего числа алгебраических операций и необходимы для обозначения отрицательных или дробных коли- честв величин. Расширение рациональных чисел – действительные числа – необходимы для исследования непрерывных величин. Возможно это благодаря тому, что числовое поле действительных (вещественных) чисел представляет собой единственное непрерывное упорядоченное поле. В математике рассматриваются не только действительные числа, но и раз- личные их расши рения. Наиболее важные из них объединены в две группы – так называемые гиперкомплексные и гипердействительные числа. Гиперкомплексные числа представляют собой разнообразные конечномер- ные алгебры над полем действительных чисел. Среди них стоит выделить ком- плексные числа (эллиптические, параболические и гиперболические), кватер- нионы, октонионы (алгебра Кэли). Стоит заметить, что никакие системы гиперкомплексных чисел, кроме комплексных чисел и действительных чисел, не образуют поля. Значение гиперкомплексных чисел в математике нельзя переоценить. В качестве примера можно привести комплексные числа – двумерные алгебры над . Основные алгебраические операции – сложение и умножение – в ком- плексных числах определяются следующим образом: Величина – константа, зависящая от типа комплексных чисел. Различают следующие разновидности: 1. Эллиптические комплексные числа, или просто комплексные числа: 2. Гиперболические комплексные числа, или двойные числа: 3. Параболические комплексные числа, или дуальные числа: