УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Где Ь\(х) —суммируемая функция и | (х)dx < Сь С, — константа. 3. sup!/, (у, и)р < А (у), где D, (у) —суммируемая функ­ ция и j' D{{y)dy < Q, Q, —константа. 4. Д«Р(*А ...,0) p^ < £ . З аме ч а ние . Условие (2) можно заменить условием (2') j /<, (-v:, у) Vy <С1 С{ — константа, для любого „х", q - - r~T ' р — 1 Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоре­ мой Рисса. Т е о р е м а Р и с с а 1 Для того, чтобы семейство функций -{/(л)], принадле­ жащих пространству I p, р> 1, было компактным в этом пространстве, достаточно, чтобы выполнялись следую­ щие условия: (1) существовала константа М. такая, чтобы для всех функций семейства было \\}\pdx<.Mp, где Ё Е—п— мерное множество, на котором функции опреде­ лены, и (2) для всякого s> 0 можно было найти такое Ь, чтобы для всех функций семейства было |Л/(х + A)— f (л ) , pdx },!р< е, если Aj< 4 причем функция f (x) предполагается равной нулю вне Е, и / (л - f A)—/ (х) понимается как f {х j -р h, х j -\- А, . . . , хп -f- А) / ( х ,, х2, . . . , х п) Покажем прежде, что семейство |О (и) 1—равномерно ограничено, то есть J |О (и) | pdx < g, £-~конст. (для любой функции u ( x ) g S). Действительно, J |0 (u)\pdx = J |ср (х, А1 (и), . . . , А„ (u)\pdx < < И ' с р ( х , 0, . . . , o y - j - S A f i l AK(u)Ydx< /=1 < П(1 + SA f , ' 1) 1'1- [ !<р ( * ,0 , . . . . O j j p - f I AM) Р ] 1,Р}РЛ с = /-i *-i = (1+ S A4,4)P'• Д !<?(*, 0..............0)|P+ 2!Д(и)|! \dx = t-i i-i 1 Успехи математ. наук, 1 (1936), Стр. 160—161. 230