УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Доказательство. Переходя к изображениям по пере­ менным t и у и предполагая при этом, что и ( t , x , y )^U (р, q, х) = рд°( ] е~г‘~<пц(t, у, х) dt dy, _оо оо преобразуем дифференциальное уравнение с частными производными в обыкновенное дифференциальное урав­ нение (32) {Р*~ <?—c)U = 0. а х 2 Его решение при начальных условиях u\x-o=<? (p>q)-+f(t,y), dU dx —ЧР, q) х-0 (мы, как и раньше, ввели вспомогательную функцию F( t ,y ) и условие (С), которое в двумерном случае имеет вид lim U (р , q,x) = О JT--°° будет ____ (4.) U(p, q, х) = <Р {p,q)e~'P ~*1сх. Для определения u*\x..0=. F (t, у) мы получаем опе­ раторное равенство (52) ф(Р'д) =—у Гр 2 - д2-с<?(р ,q), от которого мы сейчас перейдем к оригиналам. Чтобы построить оригинал, соответствующий функции ф (р, q)— —| /~p2—q2 — c<?(p,q), мы сначала перейдем к оригиналу по переменной р. Используя операционное соотношение - pY p 2- c -> Ii У с О ^ (V с Q полученное нами в гл. 1, § 1, найдем, что — рУ р*— <?2- с -> (/| /д -2 x~c)r{{tVq*+С)-\- 130