8.2. Определение вероятности 
Совокупность образует полную группу событий для данного испытания,
если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них. Например,
при сдаче зачета возможны следующие исходы: "зачтено", "не
зачтено", "не явился"; при подбрасывании монеты - "орел",
"решка"; при подбрасывании игральной кости - 1, 2, 3, 4, 5,
6.
События, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных
событий, будем называть элементарными событиями.
Классическое определение вероятности
Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных
событий m, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий
n:
Вероятность достоверного события равна 1.
Вероятность невозможного события равна 0.
Вероятность случайного события больше 0 и меньше 1.
Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения
произвольных случайных событий. Например, оно неприемлемо, если результаты
испытания не равновозможны. В таких случаях используется статистическое
определение вероятности. Пусть проводится n опытов, событие A наступило
m раз, тогда
 ,
где m - абсолютная частота события A; P(A) - относительная частота
события A.
Вероятностью события А для испытания в данном опыте называется число
P(A), около которого группируются значения относительной частоты при
больших n.
Геометрическое определение вероятности
Если в результате проведения испытаний наблюдается произвольный исход
из некоторого бесконечного множества, то можно сказать, что пространство
элементарных исходов может быть некоторой областью G, а под событием
А можно понимать исходы, входящие в область g. Пусть на область G наугад
брошена "точка"; приняв равновозможность вариантов, естественно
считать, что вероятность попадания в область g можно найти по формуле,
называемой геометрической вероятностью:
Области могут быть различной размерности (одно-, двух- или трехмерного
измерения) и, в зависимости от выбора размерности меры, могут принимать
значения либо длины, либо площади, либо объема. Для конкретного испытания
размерность мер g и G должна быть одна.
8.3. Свойства вероятности
Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее
в наступлении, по крайней мере, одного из событий - A или B.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий
A и B равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) + P(B).
Примеры: пусть А - идет дождь, а В - идет снег, то (А
+ В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А
- пошли на дискотеку; В - пошли в библиотеку, то А + В - пошли либо
на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна
единице:
P(A) + P = 1.
Вероятность суммы полной группы событий равна 1.
Примеры: если А - число четное, то - число нечетное;
если А - зима, то - не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если
А - сдал экзамен, то - не сдал экзамен.
Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее
в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.
Примеры: пусть А - из урны вытянули белый шар, В - из
урны вытянули белый шар, то АВ - из урны вытянули два белых шара; А
- идет дождь, В - идет снег, то АВ - дождь со снегом; А - число четное,
В - число кратное 3, то АВ - число кратное 6.
Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления
каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.
В противном случае события A и B называются зависимыми.
Чаще всего зависимые испытания происходят тогда, когда тянут из одной
колоды, не возвращая карты в колоду, вытаскивают из одной урны и т.
д.
Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий
A и B равна произведению их вероятностей:
P(AB) = P(A) P(B).
Пусть А и В - зависимые. Условной вероятностью PA (B) события В называется
вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже
наступило.
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий
A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:
P (AB) = P (A) PА (B).
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A
и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).
Теорема (формула полной вероятности).
Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления
одного из n попарно несовместных событий B1, B2,…, Bn, образующих полную
группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий
на соответствующую условную вероятность события A:
Теорема (формула Байеса). Если существуют n попарно
несовместных событий B1, B2, …, Bn,
образующих полную группу, и известны условные вероятности события А,
то можно найти вероятности того, что событие А произошло при условии
появления некоторого события Bk по формуле:
Вопросы
1. Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным?
2. Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в
одновременном наступлении события А и события В?
3. Приведите пример полной группы событий для выбранного Вами испытания.
4. Исходя из формулы определения вероятности, объясните, почему значение
вероятности находится в пределах от 0 до 1.
5. Часто ли случается, что наступление какого-либо события зависит
от ряда причин? Приведите пример.
6. С помощью какой формулы можно выяснить наиболее вероятную причину
уже наступившего события?
Ключевые слова
случайные события, вероятность,
сумма событий, произведение событий, полная
вероятность, условная вероятность.
|
