Кинематика – это раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения.
Для того чтобы описать движение материальной точки необходимо выбрать систему отсчета и произвольный способ описания движения. Существуют три способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный. Прямая задача кинематики заключается в нахождении скорости и ускорения материальной точки, зная уравнение ее движения.
Таблица 1
| Векторный | Координатный | Естественный |
| Определение положения тела | ||
|
Положение интересующей нас точки в любой момент времени определяется
заданием радиус-вектора |
С выбранным телом отсчета связывают определенную систему координат, тогда положение материальной точки определиться заданием ее координат в любой момент времени. Например, в декартовой системе координат, это задание функций x(t),y(t),z(t). |
Этот способ применяют тогда, когда заранее известна траектория точки. Тогда закон ее движения определяется дуговой координатой L(t) – расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета. |
| Определение скорости точки | ||
 
|
 |
Скорость всегда направлена по касательной к траектории в направлении
движения, поэтому  , где  – единичный
вектор направленный по касательной к траектории в точке с дуговой координатой L. ,
|
| Определение ускорения точки | ||
 
|
 
|
  ,где R – радиус кривизны траектории в данной точке. |
Обратная задача кинематики состоит в определении скорости и уравнения движения в зависимости от ускорения. Однозначно решается эта задача, если известны начальные условия – скорость и положение точки в некоторый момент времени t = 0.
Задача 1.
Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется
по закону 
, где
a и b – постоянные,
и 
– орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y(x);
б) зависимости от времени скорости 
,
ускорения 
и модулей этих
величин; в) зависимость от времени угла j между векторами
и 
.
Решение:
а) 
, следовательно,
, а
выразим время через координату x и подставим в уравнение для
y: 
, мы определили
уравнение траектории.
б) Найдем скорость точки, ускорение и модули этих величин.
в) Как видно ускорение направлено вдоль оси Y следовательно достаточно определить
лишь угол между вектором скорости и осью Y: 
.
Ответ:
а) y=x2b/a2;
б) 
; V=
,
; a=2b;
в)tgj=a/2bt.
Задача 2.
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль
которого зависит от ее скорости V по закону 
,
где a – положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна
V0.
а) Какой путь она пройдет до остановки? б) За какое время этот путь будет пройден?
Решение:
а) Это пример обратной задачи, по определению ускорения имеем:
.
Умножим обе части уравнения на 
и поделим на
получим:
проинтегрируем
полученное уравнение по скорости от 
до
, а по времени
от 0 до t.
проинтегрируем
.
Условие остановки тела – равенство нулю его скорости
, следовательно
это произойдет когда 
. По определению
путь пройденный телом интеграл от модуля скорости по времени.
Найдем зависимость скорости от времени: 
.Найдем
пройденный путь:
Ответ: а) s=(2/3a)V03/2;
б) t = (2/a)
.
1.1.1. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону
,
где 
– постоянный
вектор, a – положительная постоянная. Найти: а) скорость
и ускорение
частицы в
зависимости от времени; б) промежуток времени Dt,
по истечении которого частица вернется в исходную точку,
а также путь s, который она при этом пройдет.
Ответ:
a) 
,
,
б) Dt= 1/a,
s=b/2a.
1.1.2. В момент t=0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси x. Ее скорость меняется со временем по закону V=V0(1 – t/t), где V0– начальная скорость, модуль которой V0=10,0 см/с, t=5,0 с. Найти: а) координату x частицы в моменты времени 6,0; 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат.
Ответ:
x=V0t(1–t/2t); 0,24; 0 и –4,0 м; б) 1,13 и 8,87 с.
1.1.3. Частица движется в положительном направлении оси
x так, что ее скорость меняется по закону
, где a
– положительная постоянная. Имея в виду, что в момент t=0 она
находилась в точке x=0, найти: а) зависимость от времени скорости и
ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого
она пройдет первые s метров пути.
Ответ:
а) V=a2t>/2,
a=a2/2;
б) áVñ=(a/2)
.
1.1.4. Точка движется в плоскости xy по закону x=at, y=at(1 – bt), где a и b – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки y(x); изобразить ее график; б) скорость V и ускорение а точки в зависимости от t; в) момент t0, когда угол между скоростью и ускорением равен p/4.
Ответ:
а) y=x – x2 b /a;
б) 
, a=2ba
=const;
1.1.5. Точка движется в плоскости xy по закону x=Asinwt, y=A(1–coswt), где A и w – положительные постоянные. Найти: а) путь s, проходимый точкой за время t; б) угол между скоростью и ускорением точки.
Ответ:
а) s=Awt; б) p/2.
1.1.6. Частица движется в плоскости xy с постоянным
ускорением 
, направление
которого противоположно положительному направлению оси y. Уравнение траектории
частицы имеет вид y=ax–bx2,
где a и b
– положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.
Ответ:
.
1.1.7. Частица движется в плоскости xy со скоростью
,
где a и b – постоянные,
и
– орты осей
x и y. В начальный момент частица находилась в точке x = y
= 0. Найти: а) уравнение траектории частицы y(x); б) радиус
кривизны траектории в зависимости от х.
Ответ: а) y=(b/2a)x2;
б) 
1.1.8. Из одного пункта по одному направлению начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью V = 100 м/с, а другое равноускоренно с начальной скоростью V0 = 10 м/с и ускорением а = 800 см/с2. Через сколько секунд второе тело догонит первое? Постройте график движения тел и по графику определите, через сколько времени скорость второго тела станет равной скорости первого.
Ответ: t1=22,5 c; t2=11,25 c.
1.1.9. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение аt=a, а нормальное ускорение аn=bt4, где a и b – положительные постоянные, t – время. В момент t=0 точка покоилась. Найти зависимости от пройденного пути s радиуса кривизны R траектории точки и ее полного ускорения а.
Ответ:
R =a3/2bs,
a=a
.
1.1.10. Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону l=Asinwt, где l – смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, А и w – постоянные. Положив R=1,00 м, A=0,80 м и w=2,00 с–1, найти полное ускорение частицы в точках l=0 и ±А.
Ответ:
a0=A2w2/R=2,6 м/с2, aA=Aw2=3,2 м/с2.
Решение задач на вращение материальной точки или твердого тела вокруг неподвижной оси удобно решать характеризуя перемещение угловыми величинами – углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением. В общем случае угловая скорость и ускорение определяются по формулам
, 
.
В случае равномерного вращательного движения угловая скорость 
,
где Т – период вращения, 
– частота вращения, т. е. число оборотов
в единицу времени. Угловая скорость 
связана с линейной скоростью соотношением
, где R – расстояние то оси
до данной материальной точки. Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном
движении могут быть выражены в виде 
, 
.
Задача 3.
Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол j его поворота зависит от времени как j = b t2, где b = 0,20 рад/с2. Найти полное ускорение а точки А на ободе колеса в момент t = 2,5 c, если скорость точки А в этот момент V = 0,65 м/с?
Решение:
Найдем угловую скорость и угловое ускорение точки А:
и 
.Зная скорость точки А в момент времени t
= 2,5 с найдем расстояние от материальной точки до оси
вращения 
(м). Теперь
найдем тангенциальную и нормальную составляющую ускорения.
, 
, полное ускорение
равно: 
(м/с2).
Ответ: 
(м/с2).
1.2.1. Точка движется по окружности со скоростью V = a t, где a– = 0,50 м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения.
Ответ: 
м/с
1.2.2. Найти линейную скорость и нормальное ускорение точек на поверхности земного шара: а) на экваторе, б) на широте 60°, с) на широте 78°. Радиус земного шара R = 6370км.
Ответ:a) V = 463 м/с, an = 3,37 см/с2; б) V = 231 м/с, an = 1,68 см/с2;
в) V = 96 м/с, an= 0,7 см/с2.
1.2.3. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент t = 0 скорость точки равна V0. Найти зависимость: а) скорости точки от времени и от пройденного пути s; б) полного ускорения точки от скорости и пройденного пути.
Ответ: а) V = V0/(1+V0t)/R) = V0 exp (– s /R);
б) 
.
1.2.4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
j = at –
bt3 , где a = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с3.
Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток
времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки
тела.
Ответ:
а) 
, 
;
б) 
.
1.2.5. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением e = a t, где a = 2,0´10–2 рад/с3. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол j = 60° с ее вектором скорости?
Ответ: 
с.
1.2.6. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота j по закону w = w0аj, где w0 и а – положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол j = 0. Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.
Ответ : а) j = (1 – exp(-a t ) w0/a; б) w = w exp(–at).
1.2.7. Снаряд вылетел со скоростью V = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола l = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.
Ответ: w =2p n / l = 2,0 × 103 рад/с2.
Движение тела брошенного под углом
к горизонту определяется постоянным ускорением – ускорением свободного падения
. Покажем,
что движение происходит в одной плоскости. Пусть в начальный момент времени
тело имело начальную скорость 
. Найдем скорость
тела в любой момент времени: 
, следовательно
т. е.
или
из этой формулы
видно, что вектор скорости всегда будет лежать в плоскости содержащей вектора
и 
. Пусть начальное
положение точки определяется радиус-вектором 
найдем положение
точки в любой момент времени: 
, 
или
. Если вектор
также лежит
в одной плоскости с векторами 
и 
, то для описания
движения точки достаточно найти координаты x > и y . Пусть ось OY направлена
противоположно вектору 
, тогда координаты
точки и проекции скорости определяются по формулам:
и 
.
Задача 4.
Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости V01 = 3,0 м/с и V02 = 4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными.
Решение:
Скорости частиц и их положение определяется формулами:
и 
,
и 
– условие
перпендикулярности двух векторов – равенство нулю
их скалярного произведения.
т. о. скорости частиц будут взаимно перпендикулярны в момент времени
.Расстояние между частицами 
,
Модуль расстояния между частицами:
(м) = 2,5 (м). Ответ: 
(м).
Задача 5.
Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое – под углом a = 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела V0 = 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t = 1,70 с.
Решение:
Для этого воспользуемся решением предыдущей задачи:
Расстояние между частицами 
.Модуль расстояния между телами удобно находить используя проекции векторов,
, 
,
, 
, 
, 
, следовательно:
, 
(м).Ответ: 
м.
1.3.1. Свободно падающее тело прошло последние 20 м своего пути за время 0,5 с. Найти высоту падения.
Ответ: h= 90,3 м.
1.3.2. В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. С какой высоты h и сколько времени t падало тело? Указать два пути решения задачи.
Ответ: h= 57 м; t= 3,4 c .
1.3.3. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы высота его подъема составляла половину дальности полета?
Ответ: tga = 2;a = 63°30'.
1.3.4. Под каким углом a к горизонту нужно бросить тело, чтобы при заданной начальной скорости дальность его полета была наибольшей?
Ответ: a= 45°.
1.3.5. Под каким углом к горизонту нужно направить струю воды, чтобы высота ее подъема была равна дальности.
Ответ: a= 76°.
1.3.6. Два тела, брошенные с одинаковой начальной скоростью под углами a и (90° – a) к горизонту. Определить отношение наибольших высот подъема этих тел.
Ответ: h1/h2= tg 2a .
1.3.7. Два тела брошены одновременно из одной точки с начальной скоростью V0 = 30 м⁄с, направленной под углом α = 60° к вертикали (одно брошено вверх, другое – вниз). Найти разность уровней, на которых будут находиться тела спустя время 2 с.
Ответ: h = h1 – h2=2V0·sin2 
= 30м.
1.3.8. Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей средний уклон a градусов. С какой скоростью должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины?
Ответ: 
1.3.9. Аэростат поднимается с постоянной скоростью V0. К гондоле привязан на веревке груз. Как будет двигаться груз относительно земли, если веревку, на которой он подвешен, перерезать на высоте H0? Сколько времени груз будет падать на землю? Какая скорость будет у него при соприкосновении с землей.
Ответ 
; 
1.3.10. С каким промежутком времени оторвались от водосточной трубы две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями было равно 25 м?
Ответ: Dt = 1 с.
1.3.11. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты, одно вслед за другим через t сек. Через сколько времени, считая от начала падения первого тела, расстояние между телами будет равно l.
Ответ: t = l/(gt)+t/2.
1.3.12. Два тела свободно падают с разных высот и достигают земли одновременно. Время падения первого тела t1 = 2 с, второго t2 = 1 с. На какой высоте было первое тело, когда второе начало падать?
Ответ:h = 14,7 м.
1.3.13. Найти радиус кривизны траектории камня, брошенного со скоростью V0 = 12 м/с под углом 60° к горизонту: а) в верхней точке, б) в момент падения на Землю.
Ответ: а) 
м; б) 
м.
Пусть имеются две произвольные системы отсчета К и К', движущиеся определенным образом относительно друг друга скорости и ускорения точки в этих системах связаны следующими соотношениями:
Если К' система движется поступательно по
отношению к К системе. Пусть в К – системе начало отсчета К'
– системы характеризуется радиус-вектором 
, а ее скорость
и ускорение – векторами 
и 
. Если положение
точки А в К-системе определяется радиус-вектором 
, а в К'-системе
– радиус-вектором 
, то
продифференцировав
данное выражение получим следующую формулу преобразования скорости:
, аналогично
определим формулу преобразования ускорения: 
.
Отсюда видно, в частности, что при движении К'-системы без ускорения,
относительно системы К, ускорение точки в обоих системах отсчета будут одинаковы.
Задача 6.
Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с2. Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: a) время свободного падения болта; б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.
Решение:
Рассмотрим две системы отсчета,
считаем неподвижной систему отсчета связанную с шахтой лифта, а движущуюся свяжем
с кабиной лифта. Относительно шахты лифта болт движется с постоянным ускорением
– ускорением
свободного падения, а относительно лифта с ускорением 
, его направление
совпадает с направлением вектора 
– ускорением
свободного падения и модуль равен 
. Относительно
кабины лифта это движение с постоянным ускорением и без начальной скоростью,
перемещение в этой системе отсчета равно высоте лифта, поэтому время свободного
падения болта равно: 
(с). Чтобы
найти перемещение болта в системе связанной с шахтой лифта определим начальную
скорость болта к тому моменту когда он начал падать, она равна скорости
лифта к этому моменту времени. 
(м/с) и направлена
вверх в направлении движения лифта. Со направим ось ОY с вектором
, перемещение болта
будет равно разности координат от начала падения до попадания на пол лифта.
(м ).
Как видно из полученной зависимости в системе
связанной с шахтой лифта болт сначала немного поднимется, а затем начнет падать.
Т. е. пройденный путь не равен перемещению, а больше, найдем его:
(м).Ответ: а) 0,7 с; б) соответственно 0,7 и 1,3 м.
1.4.1. Корабль движется по экватору на восток со скоростью V0 = 30 км/ч. С юго-востока под углом j = 60° к экватору дует ветер со скоростью V = 15 км/ч. Найти скорость V' ветра относительно корабля и угол j между экватором и направлением ветра в системе отсчета связанной с кораблем.
Ответ 
км/ч, 
1.4.2. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же все время держать курс перпендикулярно течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью U. При каком значении U оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения V0 = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды V'=2,5км/ч?
Ответ: 
1.4.3. От бакена, который находится на середине широкой реки отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а лодка В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок tА/tВ, если скорость каждой лодки относительно воды в h = 1,2 раза больше скорости течения.
Ответ 
1.4.4. Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Они начинают двигаться с постоянной по модулю скоростью V, причем первая точка все время держит курс на вторую, вторая – на третью, третья – на первую. Через сколько времени точки встретятся?
Ответ: t=2a/3V.
1.4.5. Точка А движется равномерно со скоростью V так, что вектор 
все время «нацелен» на точку В, которая в свою очередь движется прямолинейно
и равномерно со скоростью U < V. В начальный момент V ^
U и расстояние между точками равно l. Через сколько времени точки встретятся?
Ответ: Скорость сближения точек А и В равна V – U ×cos a, где угол a зависит от времени. Для встречи точек необходимо два условия:
где t – искомое время. Из этих двух выражений следует,
что 
1.4.6. Поезд длины l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением а = 3,0 × 10–2 м/с2. Через t = 30 с после начала движения был включен прожектор локомотива (событие 1), а через t = 60 с после этого – сигнальная лампа в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между точками, в которых произошли эти события, в системах отсчета, связанных с поездом и с земной поверхностью. Как и с какой постоянной скоростью V относительно земной поверхности должна перемещаться некоторая К-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?
Ответ: x 1– x2= l – at(t + t/2) = 0,24 км. Навстречу поезду со скоростью V = 4,0 м/с.
1.4.7. Две частицы 1 и 2, движутся с постоянными скоростями V1 и V2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t = 0 частицы находились на расстояниях l1 и l2 от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
Ответ: 
1.4.8. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми l,
одновременно начинают двигаться два корабля со скоростями 
и 
. Векторы скоростей образуют с отрезком
АВ одинаковые углы a = 45°. Считая движение
кораблей равномерным и прямолинейным, определить наименьшее расстояние между
ними.
Ответ: 
1.4.9. Частица А, двигаясь со скоростью 
, ударяется
о массивную стенку В, которая движется в том же направлении со скоростью
. Определить
скорость частицы после удара, если известно, что при ударе о стенку В,
когда она неподвижна, частица отскакивает, сохраняя скорость по модулю и изменяя
ее направление на противоположное.
Ответ: V = 2U – V.
– (вектора
проведенного из начала отсчета в точку пространства, где находится точка
в момент времени t). Если задана декартова система
координат 