Часть I

Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Введение

Общий вид этих уравнений:

(В.1)

где f – известная функция. Важность данного класса обыкновенных дифференциальных уравнений обусловлена тем, что решение многих дифференциальных уравнений второго порядка, встречающихся в физике, может быть сведено либо к последовательному интегрированию уравнений первого порядка либо к системе этих уравнений.

Нередко в процессе отыскания решения уравнения (В.1) приходят к уравнению, содержащему произвольную постоянную С и не разрешённому относительно y:

. (В.2)

Соотношение такого вида называется общим интегралом дифференциального уравнения (В.1).

Обычно в физике дифференциальное уравнение дополняется, так называемыми начальными условиями, когда в некоторый момент времени t₀, принимаемый за начальный, задаётся значение искомой функции:

, (В.3)

где - заданное число. При этом задача нахождения решения дифференциального уравнения (В.1), удовлетворяющего заданным начальным условиям (В.3) называется задачей Коши.

Если в общий интеграл (В.2) вместо t и y подставить начальные условия t₀ и y₀, и из полученного уравнения выразить С через t₀ и y₀, то, подставляя данное выражение вместо С в (В.2) получим соотношение

(В.4)

Данный интеграл, удовлетворяющий начальным данным, и являющийся частным случаем общего интеграла (В.2), называется частным интегралом дифференциального уравнения (В.1).

Следует отметить, что общий и частный интегралы дифференциальных уравнений играют весьма существенную роль как непосредственно при получении решений этих уравнений, так и при физическом анализе явления или процесса, описываемого данными уравнениями. Так, например, законы сохранения в механике (энергии, импульса и момента импульса) являются не чем иным, как интегралами уравнений движения (более точно – первыми интегралами, поскольку уравнения движения второго порядка).

Если соотношение (В.2) удаётся разрешить относительно y, то мы получаем общее решение уравнения (В.1):

. (В.5)

В случае же решения задачи Коши с начальными условиями (В.3) либо из частного интеграла (В.4), либо, чаще всего, из общего решения (В.5) при подстановки в него условий (В.3), можно получить частое решение уравнения (В.1):

. (В.6)

В нашем курсе мы кратко рассмотрим методы интегрирования лишь двух, наиболее распространённых в приложениях, видов дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения с разделяющимися переменными и линейные уравнения. В качестве приложения данного материала, в Части III подробно разбираются две задачи по механике (задачи №1 и №2) , для решения которых требуется интегрирование уравнений именно этих видов.