Примеры

В рассматриваемых ниже примерах требуется найти:

1. Общий и частный интегралы дифференциального уравнения;

2. Если это возможно, общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример №1

, (Пр.1.1)

Решение.

Данные примеры решаем по следующей схеме.

1. Разделяем переменные в (Пр.1.1) (считаем, что y¹2):

, (Пр.1.2)

2. Интегрируем левую и правую части (Пр.1.2), вычисляем общий интеграл.

Учитывая, что

,

получим:

. (Пр.1.3)

Вычисляя данные интегралы, и записывая постоянную интегрирования в удобном для дальнейших преобразований виде, (переобозначаем С®lnC), из (Пр.1.3) будем иметь

(Пр.1.4)

Отсюда получаем общий интеграл уравнения (Пр.1.1):

(Пр.1.5)

3. Вычисляем частный интеграл.

Чтобы найти выражение для частного интеграла, нужно найти значение С, соответствующее начальным условиям. Для этого подставляем в (Пр.1.5) вместо t=1, вместо y=1. При этом получим, что С=-3. Следовательно, частный интеграл уравнения (Пр.1.1) имеет вид:

(Пр.1.6)

4. Определяем общее решение.

В этом примере оно находится очень легко из общего интеграла (Пр.1.5):

(Пр.1.7)

5. Определяем частное решение.

Его можно найти, например, из общего решения (Пр.1.7), подставляя в него начальные условия и выражая постоянную С. Она, как и в пункте №3 оказывается равной С=-3. Следовательно, частное решение уравнения (Пр.1.1) даётся формулой:

(Пр.1.8)

Видно, что такое же выражение получается и из частного интеграла (Пр.1.6).

Пример №2

, (Пр.2.1)

Решение.

Данные примеры решаем по следующей схеме.

1. Разделяем переменные в (Пр.2.1) (считаем, что sin(2y)¹0):

, (Пр.2.2)

2. Интегрируем левую и правую части (Пр.2.2), вычисляем общий интеграл.

. (Пр.2.3)

Вычисляя данные интегралы, и записывая постоянную интегрирования в удобном для дальнейших преобразований виде (переобозначаем С®lnC), из (Пр.2.3) будем иметь

(Пр.2.4)

Отсюда получаем общий интеграл уравнения (Пр.2.1):

(Пр.2.5)

3. Вычисляем частный интеграл.

Чтобы найти выражение для частного интеграла, нужно найти значение С, соответствующее начальным условиям. Для этого подставляем в (Пр.2.5) вместо t=0, вместо . При этом получим, что С=8. Следовательно, частный интеграл уравнения (Пр.2.1) имеет вид:

(Пр.2.6)

4. Определяем общее решение.

Для этого из общего интеграла (Пр.2.5) выражаем y:

(Пр.2.7)

5. Определяем частное решение.

Для определения частного решения в данном случае используем частный интеграл (Пр.2.6). Выражая оттуда y, получим, что частное решение уравнения (Пр.2.1) даётся формулой:

(Пр.2.8)

Пример №3

, (Пр.3.1)

Решение.

1. Разделяем переменные в (Пр.3.1) (считаем, что y¹-1):

, (Пр.3.2)

2. Интегрируем левую и правую части (Пр.3.2), вычисляем общий интеграл.

, (Пр.3.3)

Вычисляем данные интегралы:

,

В результате из (Пр.3.3) получаем общий интеграл уравнения (Пр.3.1):

(Пр.3.4)

3. Вычисляем частный интеграл.

Чтобы найти выражение для частного интеграла, нужно найти значение С, соответствующее начальным условиям. Для этого подставляем в (Пр.1.4) вместо t=2, вместо y=0. При этом получим, что . Следовательно, частный интеграл уравнения (Пр.3.1) имеет вид:

(Пр.3.6)

4. Общее решение.

Уравнение (Пр.3.4), определяющее общий интеграл, не может быть разрешено относительно y. Поэтому в данном примере в явном виде общее решение уравнения (Пр.3.1) получить невозможно. Следовательно, общий интеграл (Пр.3.4) задаёт общее решение уравнения (Пр.3.1) в неявном виде.

5. Частное решение.

Частное решение в явном виде также получено быть не может. Уравнение же (Пр.1.6) задаёт частное решение уравнения (Пр.3.1) в неявном виде.