Время науки - The Times of Science

Пичугина Е.А. Pichugina Ye.A. 2024 41 «Петя выбирает число 1 j N , которое он держит в секрете. Вася выбирает другое случайное число 1 p N , которое он тоже держит в секрете. Затем они применяют к своим числам функцию вида f ( x ) = а х (mod р ), где р – простое число, известное им обоим. После этой операции они обмениваются новыми числами 2 j N и 2 p N , полученными при помощи функции f ( x ). Далее Петя вычисляет 1 2 (mod ) j N p N p и получает новое число С j , Вася вычисляет 1 2 (mod ) p N j N p и получает новое число С р . Числа С j и С р получаются одинаковыми. Поскольку ни одно из чисел 2 j N и 2 p N не является ключом, то перехват информации не будет угрожать безопасности системы шифрования. Ключ этой системы имеет следующий вид: 1 1 (mod ) j p N N a p . Важно также учесть, что функция f ( x ) необратима, то есть зная саму функцию и результат ее применения к переменной х , невозможно найти исходное значение х .» [3, с. 101] Получение случайных простых чисел является неотъемлемой частью процедур выработки ключей во многих криптографических алгоритмах, поэтому важно уметь генерировать большое количество простых чисел. Существует множества различных геометрических моделей для поиска простых чисел, но на самом деле эти модели являются аналогами решета Эратосфена. Одна из самых интересных моделей была разработана российскими математиками Юрием Матиясевичем (род. в 1947 г.) и Борисом Стечкиным (1920 – 1995 гг.) с использованием параболы. В 1996 году Джордж Вольтман (род. 1957) основал проект по поиску чисел Мерсенна в Интернете (GIMPS). С момента основания и до 2018 года проект полагался в основном на тест простоты Лукаса–Лемера, поскольку это алгоритм, который реализуется для тестирования простых чисел Мерсенна и особенно эффективен на бинарных компьютерных архитектурах. 21 декабря 2018 г. GIMPS обнаружил самое большое из известных простое число 2 82589933 – 1, состоящее из 24862048 цифр. В заключение отметим, что развитие теории простых чисел продолжается, и многое ещё только предстоит доказать. Важно, чтобы учителя математики смогли заинтересовать детей этой древней, но самой современной и быстро развивающейся областью математики, которая лежит в основе технологий будущего. Литература: 1. Беляева, А. Д. Уральский след в непростой истории простых чисел: И. М. Первушин и его вклад в науку // А. Д. Беляева, М. Ю. Сизова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2015. — № 2 (2). — С. 86-88. — URL: https://moluch.ru/young/archive/2/116/ (дата обращения: 02.05.2024). 2. Депман И.Я. 'Из истории математики' - Москва: Детгиз, 1950 - с.114