Время науки - The Times of Science

Время науки The Times of science 40 №3.2 связаны с составлением таблицы всех простых чисел от 1 до 100 000 и нахождением формул, которые позволяли ему получать невероятные количества таких чисел. Например, полученная им формула: х 2 +х+q генерирует простые числа для любых значений х , больших 0 и меньших q – 2. Эйлер нашел все такие простые числа для q = 2, 3, 5, 7, 11 и 17.» [4, с. 50] Наибольшее простое число, полученное Леонардом Эйлером: 2³¹ – 1 = 2147483647. Таким образом, Эйлеру спустя 100 лет после утверждения Мерсенна удалось доказать его справедливость для числа 31. В XIX веке российский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев существенно развил учение о простых числах. Одна из его научных работ «О функции, определяющей все простые числа, меньшие заданного предела» была представлена в Академии наук Санкт-Петербурга в 1848 году. Основным объектом исследования была функция, которая каждому положительному целому числу ставит в соответствие количество простых чисел, которые меньше или равны этому числу. В своей работе 1850 года П. Л. Чебышев доказал утверждение, согласно которому «между числами n и 2 n – 2 ( n > 3) лежит по крайней мере одно простое число.» [2, с. 84] Интересные открытия принадлежат российскому священник у и математик у И.М. Первушину (1827 – 1900 гг.). Так Первушин И.М. доказал [1], что простым является число 2 61 – 1 = 2 305 843 009 213 693 851. Заметим, что показателя 61 не было в утверждении Мерсенна, тем не менее полученное число оказалось простым. Т. е. список чисел Мерсенна оказался неполным. Прослеживая достаточно долгий путь развития теории простых чисел и неизменный интерес математиков к поиску больших простых чисел, можно сделать вывод об их несомненном теоретическом значении. Генерация новых простых чисел ведет к появлению все более эффективных вычислительных инструментов, особенно для использования в компьютерных системах. Также наличие большого списка простых чисел позволяет доказывать теоремы, которые еще только сформулированы в виде идей или гипотез. Однако не только теоретическое, но и весомое практическое значение приобретают большие простые числа в современном мире. Интернет-сайты, электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь – все это защищается с помощью секретных кодов, основанных на свойствах простых чисел. Немаловажной является проблема безопасного обмена секретной информацией. В США в 1976 г. ученым Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману пришла в голову идея создания способа, при котором два человека могут обмениваться зашифрованными сообщениями без обмена секретными ключами. Этот метод использует свойства простых чисел, а также теорию сравнений по простому модулю. Идея заключается в следующем.