Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

28 И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков Теорема 1 . Для любого чисто-вещественного алгебраического поля степени над по- лем рациональных чисел Q множество алгебраических решёток A ( ) всюду плотно в мет- рическом пространстве . Для любой алгебраической решётки Λ ∈ A ( ) можно рассмотреть новый класс рядов Дирихле второго рода ( | Λ) = ∑︁ ⃗ ∈ Λ ,̸⃗ = ⃗ 0 ( ⃗ ) | 1 · . . . · | = ∞ ∑︁ =1 ( ) − , = + , > ⩾ * , где — абсцисса абсолютной сходимости и * — абсцисса сходимости, а — точки нормен- ного спектра (Λ) , но требуется дополнительное условие, что каждый бесконечный ряд ( ⃗ ) = ∑︁ ⃗ ∈ Λ , | 1 · ... · | = | 1 · ... · | ( ⃗ ) абсолютно сходится. Это условие очень важное. Дело всё в том, что каждая точка нормен- ного спектра алгебраической решётки в силу теоремы Дирихле о единицах алгебраического поля в случае чисто вещественного алгебраического поля имеет бесконечный порядок. Именно поэтому дзета-ряд ∑︁ ⃗ ∈ Λ 1 | 1 · . . . · | расходится для любого . Обозначим через ˜ D (Λ) множество всех рядов Дирихле второго рода над алгебраической решёткой Λ . Ясно, что ˜ D (Λ)̸ = D (Λ) . Естественно, что интерес представляет описать отличия алгебры ˜ D (Λ) от пространства D (Λ) . 5. Погрешности приближенного интегрирования для новых клас- сов функций, заданных моноидами натуральных чисел В работе [4] для каждого моноида натуральных чисел определён новый класс периодиче- ских функций , который является подклассом известного класса Коробова периодических функций . Относительно нормы ‖ ( ⃗ ) ‖ класс является несепарабельным банаховым подпространством класса . Установлено, что класс замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго ро- да. Получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и -ю степень дзета-функции моноида . Получены оценки на параметр , при которых инте- гральный оператор , является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана. Авторами рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными про- изводными с дифференциальным оператором (︁ 1 , . . . , )︁ в пространстве , который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора. Ими обнаружен парадоксальный факт, что для моноида , 1 чисел, сравнимых с 1 по модулю , квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю точна на классе , 1 , . Более того, это утверждение остается верным и для класса , , с 1 < < , когда — простое число. Так как функции из класса , , с 1 < < не имеют нулевого коэффициента Фурье ( ⃗ 0) , то при простом сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.