Записки научных семинаров Тульской школы теории чисел. Вып. 2. 2023 г.

Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе . . . 27 Наряду с операциями сложения и вычитания векторов из R рассмотрим операции поко- ординатного умножения двух векторов и деления вектора на вектор общего положения: ⃗ · ⃗ = ( 1 1 , . . . , ) , ⃗ ⃗ = (︂ 1 1 , . . . , )︂ ( 1̸ = 0 , . . . ,̸ = 0) . Добавление операции покоординатного умножения превращает R в коммутативное кольцо с единицей ⃗ = (1 , . . . , 1) и, кроме того, в алгебру над R ранга . Согласно Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддееву [1] решёткой, повторяющейся умножением, называется всякая решётка, замкнутая относительно операции покоординатного умножения точек. Таким образом, если решётка Λ повторяется умножением, то для любого ⃗ ∈ Λ спра- ведливо соотношение ⃗ · Λ = { ( 1 1 , . . . , ) | ⃗ ∈ Λ } ⊂ Λ · Λ ⊂ Λ . Ясно, что если ⃗ — точка общего положения, то ⃗ · Λ — подрешётка, повторяющаяся умно- жением, решётки Λ , так как свойства дискретности и замкнутости относительно сложения, вычитания и умножения для ⃗ · Λ сохраняются, кроме того, линейно независимая система векторов переходит в линейно независимую. Таким образом, с алгебраической точки зрения всякая решётка Λ , повторяющаяся умно- жением, является, с одной стороны, коммутативным кольцом, а, с другой стороны, Z -модулем. Определение 1 . Точка ̸⃗ = ⃗ 0 называется делителем нуля, если у неё есть координаты, равные 0 . Определение 2 . Решётка, не содержащая делителей нуля, называется неприводимой. Определение 3 . Вектор ⃗ = ( (1) , . . . , ( ) ) ∈ R называется целым алгебраическим, если многочлен ⃗ ( ) = ( − (1) ) . . . ( − ( ) ) ∈ Z [ ] . Вектор ⃗ = ( (1) , . . . , ( ) ) называется алгебраическим, если найдется натуральное число такое, что вектор ⃗ 1 = ⃗ будет целым алгебраическим вектором. Определение 4 . Решётка Λ ∈ называется алгебраической, если любой вектор ⃗ ∈ Λ будет алгебраическим вектором и Λ содержит неприводимую подрешётку Λ 1 , повто- ряющуюся умножением. Важным свойством алгебраических решёток является тот факт, что норменный минимум (Λ) , который определяется равенством (Λ) = inf ⃗ ∈ Λ , ̸⃗ = ⃗ 0 | 1 . . . | , строго больше 0: (Λ) > 0 . Пусть — чисто-вещественное алгебраическое поле степени над полем рациональных чисел Q и (1) = , (2) , . . . , ( ) — его алгебраически сопряжённые поля. Обозначим через A ( ) множество всех алгебраических решёток Λ таких, что координаты любого вектора ⃗ ∈ Λ являются алгебраически сопряженными числами из поля , то есть ⃗ = ( 1 , . . . , ) и = ( ) ( = 1 , . . . , ) , где (1) = , (2) , . . . , ( ) — полный набор алгебраически сопряженных чисел ( ) ∈ ( ) для алгебраического числа ∈ . В работе [7] доказана следующая основная теорема о плотности множества алгебраических решёток A ( ) в метрическом пространстве .